Un ejemplo de PID no conmutativo

Question

Es bien sabido que cuando un anillo $R$ es un PID, cada submódulo de un $R$ -el módulo es gratuito. Me interesan los casos en los que se cumple lo contrario, es decir, en los anillos $R$ que tienen la propiedad de que todo submódulo de un $R$ -el módulo es gratuito. Es bastante fácil ver que tal anillo no puede tener ningún divisor cero y que cada ideal del anillo debe ser principal. Me gustaría saber si hay algún "EPI no conmutativo", es decir, si hay algún anillo que (1) no tenga divisores cero, (2) tenga sólo ideales principales y (3) sea no conmutativo. ¿Existe algún tipo de teorema de estructura para tales anillos? Por ejemplo, Hungerford demostró en este documento que todo anillo ideal principal (un anillo cuyos ideales son todos principales) que es conmutativo es una suma directa de imágenes homomórficas de EPIs.

EDIT: Robert Lewis me ha recordado que una clase de ejemplos del anillo que estoy buscando son los anillos de división. ¿Existen ejemplos que no sean anillos de división? (Después de todo, la estructura ideal de un anillo de división no es muy interesante).

Answer 1

La sugerencia de Fred Byrd de los cuaterniones hace el truco, pero si quieres que haya algunos elementos irreducibles, puedes usar $\Bbb H[x]$ que es un PID de izquierda y derecha por el mismo argumento que se utiliza para los anillos de polinomios sobre campos. Definitivamente no es un anillo de división.

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En cuanto a un teorema de estructura, creo que el que buscas es para anillos primos noetherianos hereditarios de los cuales un dominio ideal principal izquierdo y derecho es un ejemplo. Lamentablemente no me lo sé de memoria y no tengo los recursos a mano.

Yo en tu lugar consultaría los trabajos de Robson, Eisenbud, Griffith, Connell y Jategaonkar sobre el tema de los anillos noetherianos hereditarios. Supongo que la conclusión está probablemente disponible en los libros de teoría de anillos de Rowen y quizá en el libro de Goodearl y Warfield sobre anillos noetherianos no conmutativos.

Recuerdo que el teorema era algo así:

Los anillos hereditarios noetherianos se descomponen en un anillo artiniano y un producto finito de anillos primos hereditarios noetherianos.

También me las arreglé para encontrar en Faith's Anillos y cosas p 115 que las imágenes homomórficas propias de los anillos HNP son todos anillos seriales artinianos. Sospecho que estos son exactamente los anillos artinianos que aparecen en la descomposición anterior en la parte artiniana.

Comparemos esto con el resultado de Hungerford. (Anillo ideal principal=PIR, dominio ideal principal-PID, y anillo ideal principal especial=SPIR).

Teorema 1: Todo PIR es una suma directa finita de imágenes homomórficas de PIDs.

Lemma 10: Todo PIR es una suma directa (finita) de PIDs y SPIRs.

Corolario 11: Todo SPIR es una imagen homomórfica de un PID.

Ahora bien, un SPIR con un único ideal maximal es un anillo artiniano cuyos ideales están linealmente ordenados. Un producto finito de SPIRs es un ejemplo de anillo serial artiniano. Por eso, creo sinceramente que el teorema del anillo noetheriano hereditario es la extensión propia del teorema de Hungerford.

Answer 2

Los cuaterniones, creo, servirán.

En cuanto a un teorema de estructura general, me temo que está un poco fuera de mi alcance.

Answer 3

El álgebra universal envolvente de $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$ es un EPI no conmutativo que no es un anillo de división. Véase, por ejemplo, el caso de Catoiu Ideales del álgebra envolvente $U(sl_2)$ p.145 y las referencias allí citadas. Siciliano y Usefi dan más ejemplos en Álgebras envolventes que son anillos ideales principales .