Problema relacionado con divisores

Question

Aquí está el problema en el que estoy trabajando actualmente:

Supongamos que $\frac{a}{b}$ es una raíz racional de la ecuación $$ a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n = 0,$$

donde $a$ y $b$ son enteros relativamente primos y $a_0,a_1,...,a_n$ son enteros arbitrarios. Muestra que $a$ es un divisor de $a_n$ y que $b$ es un divisor de $a_0.

No tengo idea de cómo abordar esta prueba. Lo que sé es que $a$ y $b$ son enteros relativamente primos. En otras palabras, su máximo común divisor es $1$ (así que aquí tenemos mcd$(a,b) = 1$).

EDICIÓN:

Originalmente, el libro de texto comienza la pregunta como

Supongamos que a/b es una raíz racional de la ecuación...

Lo puse aquí siguiendo el formato del libro de texto. Creo que debo dividir la fracción $\frac{a}{b}$ como $$a * \frac{1}{b},$$

ya que el problema pide mostrar que $a$ es un divisor de $a_n$ y que $b$ es un divisor de $a_0$.

Answer 1

Sustituyendo $x$ con $\frac{a}{b}$ en la ecuación y multiplicando ambos lados por $b^n$ tienes

$$ a_0a^n+a_1a^{n-1} b+...+a_{n-1}a b^{n-1}+a_n b^n= 0$$

En esta ecuación, todos los términos del LHS excepto el último contienen el factor $a$, por lo que $a_n$ debe ser divisible por $a$. De manera similar, todos los términos excepto el primero contienen el factor $b$, por lo que $a_0$ debe ser divisible por $b.

Answer 2

Dado que $\frac{a}{b}$ es una solución de la ecuación, tenemos: $$a_0\left(\frac{a}{b}\right)^n+a_1\left(\frac{a}{b}\right)^{n-1}+...+a_{n-1}\left(\frac{a}{b}\right)+a_n=0\\a_0(a)^n+a_1(a)^{n-1}b+...+a_{n-1}(a)b^{n-1}+a_nb^n=0$$ El último paso resulta de multiplicar ambos lados de la ecuación por $b^n$, que debe ser distinto de cero. Ahora extrae un $a$ de todo menos del término $a_n$ y mueve $a_nb^n$ al otro lado. Usa el hecho de que $\gcd(a,b)=1$ para demostrar que $a$ debe dividir a $a_n$.