Demostración mediante la propiedad arquimediana y el principio de ordenación de pozos n-1<= t < n.

Question

Así que estoy muy confundido sobre lo que se está haciendo en esta prueba.

Q Demostrar que si $t\ge 0\, (t \in \Bbb R)$ entonces existe un $n \in \Bbb N$ tal que $n-1 \le t < n$ .

Prueba - Sea el conjunto $S = \{a \in \Bbb N : a > t\}$ . Entonces se deduce que $S$ es no vacía por la propiedad arquimediana, y existe un único $n \in S$ , $a \ge n$ por el principio de ordenación del pozo.

Desde $n \in S$ tenemos $n > t$ . ( ¿Por qué? )

Ahora, considera dos posibilidades, $n =1$ o $n > 1$ .

Si $n=1$ entonces $n-1 = 0$ y también $0 < t$ ( ¿cómo lo sabemos? ).

Si $n > 1$ entonces $n \in \Bbb N$ pero por construcción $n-1 \notin S$ . ( ¿Cómo? )

Así que $n - 1 \le t$ . (¿CÓMO?)

Por lo tanto, $n - 1 \le t < n$ .

Llevo un buen rato mirando esto y tratando de entenderlo retrocediendo hasta las definiciones de la Propiedad Arquimediana y el Principio de Ordenación del Pozo. Sé lo que dicen pero no entiendo cómo se ha demostrado la cuestión. Una explicación clara de lo que ocurre sería de gran ayuda.

Answer 1

Que el conjunto $S = \{a \in \Bbb N : a > t\}$ . Entonces se deduce que $S$ es no vacía por la propiedad arquimediana, y existe un único $n \in S$ , $a \ge n$ por el principio de ordenación del pozo.

La última afirmación es un poco confusa. El principio de buen orden dice que el conjunto no vacío $S$ tiene un miembro más pequeño (necesariamente único) $n$ claramente $a\ge n$ para todos $n\in S$ .

Desde $n \in S$ tenemos $n > t$ . ( ¿Por qué? )

Elegimos $n$ para ser el miembro más pequeño de $S$ Así que ciertamente $n\in S$ . Los miembros de $S$ son por definición los números naturales $a$ tal que $a>t$ y $n\in S$ , por lo que necesariamente $n>t$ .

Ahora, considera dos posibilidades, $n =1$ o $n > 1$ .

Si $n=1$ entonces $n-1 = 0$ y también $0 < t$ ( ¿cómo lo sabemos? ).

En realidad, el argumento es un poco erróneo en este punto. Recordemos que el $t\ge 0$ por hipótesis. El autor de la prueba debería haber separado el caso $t=0$ y lo manejé por separado. En ese caso, fijamos $n=1$ y observar que $n-1=0\le t<1=n$ , según se desee. Una vez hecho esto, podemos simplemente suponer que $t>0$ . Y como sabemos que $n>t$ tenemos $n-1=0<t<n=1$ en este caso.

Si $n > 1$ entonces $n \in \Bbb N$ pero por construcción $n-1 \notin S$ . ( ¿Cómo? )

Porque $n$ es el El más pequeño miembro de $S$ . $S$ no contiene ningún número entero positivo menor que $n$ y $n-1$ es un número entero positivo (ya que $n>1$ ), por lo que en particular $S$ no contiene $n-1$ .

Así que $n - 1 \le t$ . (¿CÓMO?)

Recordemos que $S$ contiene todos los números enteros positivos $a$ tal que $a>t$ . Desde $n>1$ , $n-1$ es un número entero positivo. Acabamos de demostrar que $n-1$ es no en $S$ Así que $n-1$ no puede ser mayor que $t$ . Así, $n-1\le t$ .

Por lo tanto, $n - 1 \le t < n$ .

Y esto es sólo juntar las piezas.

Answer 2

Pregunta 1: ¿por qué $n>t$ ? N es un elemento de $S$ ( $n\in S$ ) y de la definición de $S$ tenemos $S=a\in \mathbb N:a>t$ . Cualquier elemento en $S$ es mayor que $t$ , incluyendo $n$ Así que $n>t$

Pregunta 2: es ligeramente errónea. Usted tiene $0\le t$ de la definición, no $0\lt t$

Pregunta 3: si $n\gt 1$ entonces $n-1 \in \mathbb N$ . Pero definimos $n$ como el elemento mínimo en $S$ Así que $n-1\notin S$

Pregunta 4: $n$ es el elemento mínimo de $S$ Así que $t \le n$ . Si $t$ sería menor que $n-1$ por definición $n-1\in S$ Así que $n$ no es el elemento mínimo