Demostración mediante el núcleo de una matriz

Question

Prueba de que si $A$ y $B$ son $n \times n$ - matrices tales que $Ker(A-B)= \mathbb R^n$ que $A=B$ .

Definición : Si $f: V \to W$ es un mapa lineal, entonces el núcleo de $f$ es

$Ker(f)= \{\overrightarrow v\in V: f(\overrightarrow v) = \overrightarrow 0_W\}$ un subespacio vectorial de $V$ .

Sé que $A$ y $B$ son espacios vectoriales para poder construir un mapa lineal. Y sé que eligiendo una base $\{\overrightarrow v_1, \ldots, \overrightarrow v_n\}$ para el $n$ -espacio vectorial de dimensiones $V$ podemos identificar los vectores $\overrightarrow v \in V$ con su vector columna de coeficientes con respecto a la base. Hagamos lo mismo para $W$ con base $\{\overrightarrow w_1, \ldots, \overrightarrow w_n \}$ entonces se construye un mapa lineal como se menciona en la definición $f: V \to W$ representando un $m \times n$ -de la que tomamos la columna i-ésima como el vector columna con respecto a la base $\{\overrightarrow w_1, \ldots, \overrightarrow w_n \}$ de la imagen $f(\overrightarrow v_k)\in W$ .

Ahora me doy cuenta de que esto es sólo un comienzo, pero parece que por definición del núcleo el $A-B=0$ . Y $\overrightarrow 0 \in \mathbb R^n$ .

¿Qué debo buscar para completar esta prueba?

Pensamiento : ¿Puedo usar la suma directa en esta pregunta porque me parece que puedo usarla de alguna manera?

Answer 1

Si $v\in\mathbb{R}^n$ entonces $v\in\ker(A-B)$ y por lo tanto $(A-B)v=0$ . Como esto ocurre para cada vector de $\mathbb{R}^n$ , $A-B=0$ . En otras palabras, $A=B$ .

Answer 2

Si $Ker(A-B)= \mathbb R^n$ entonces $Ax=Bx$ para todos $x \in \mathbb R^n$ . Si, por ejemplo $x=(1,0,0,..,0)$ entonces $Ax=Bx$ muestra que la primera columna de $A$ coincide con la primera columna de $B$ .

¿Puede continuar?