¿Qué se pierde al pasar al móvil?

Question

Contemplé qué información sobre un esquema perdemos al pasar a su motivo. Se me ocurrieron los siguientes ejemplos:

1. El haz proyectivo de un haz vectorial sólo depende del rango del haz vectorial sea cual sea su torsión (esto se deduce del triángulo exacto de Mayer-Vietoris).
2. El motivo de la explosión de un $\mathbf{P}^2$ en un punto es igual al motivo de la superficie cuádrica.

¿Existen otras grandes clases de fenómenos de este tipo? (¿Existe una clase en la que encaje el 2.?)

Y a la inversa, ¿qué podemos recuperar sobre la variedad a partir de su motivo?

Answer 1

Ambos ejemplos que consideras tienen la propiedad de que la estructura aditiva de los grupos de Chow es la misma, pero las estructuras multiplicativas son diferentes. En el primer caso la multiplicación depende de las clases de Chern del haz, y en el segundo caso las formas de intersección sobre $CH^1$ son $x^2 - y^2$ y $2uv$ que son diferentes integralmente. Así que si captamos la estructura multiplicativa del motivo (que es $\Delta: M(X) \to M(X) \otimes M(X)$ Creo) que seremos capaces de hacerlo mejor.

Para su ejemplo 2, ambas variedades son celulares (pegadas a partir de espacios afines), y el número de celdas en cada dimensión es el mismo. Tales variedades siempre tienen motivos isomórficos (Tate).

En general, creo que no hay mejor respuesta a la pregunta "¿Qué podemos recuperar sobre la variedad X a partir de su motivo?" que la trivial: "Podemos recuperar todas las teorías de cohomología razonables evaluadas sobre X". Sin embargo, tengo mucha curiosidad por saber qué dirán los demás.

Como nota aparte, recuerdo haber leído en algún sitio que se espera que el motivo integral de una cuádrica determine la propia forma cuadrática.

Answer 2

Aquí la palabra "motivo" se referirá a los motivos puros de Grothendieck módulo de equivalencia racional. Su punto 1. también es cierto para los haces de Grassmann. Más precisamente, el siguiente resultado es válido :

Dejemos que $E\longrightarrow X$ sea un haz vectorial de rango $n$ , $k\leq n$ y $Gr_k(E)\longrightarrow X$ el haz de Grassmann asociado. Entonces $M(Gr_k(E))\simeq \coprod_{\lambda}M(X)[k(n-k)-\lambda]$ , donde $\lambda$ recorre todas las particiones $\lambda=(\lambda_1,...,\lambda_k)$ satisfaciendo $n-k\geq \lambda_1\geq...\geq \lambda_k\geq 0$ .

Se puede demostrar de la misma manera que para el teorema del haz proyectivo, como un lema de aplicación tipo Yoneda para grupos de Chow.

Ahora sabemos muchas cosas sobre los motivos de las cuádricas. Por ejemplo, si una forma cuadrática $q$ es isotrópico, el motivo de la cuádrica asociada $Q$ tiene una descomposición $\mathbb{Z} \oplus M(Q_1) \oplus \mathbb{Z}[\dim(Q)]$ , donde $Q_1$ es una cuádrica de dimensión $\dim(Q)-2$ asociada a una forma cuadrática $q_1$ Witt equivalente a $q$ . Utilizándolo inductivamente se obtiene la descomposición motivacional de las cuádricas partidas y por ejemplo si $\dim(q)$ es impar y $q$ es dividir el motivo de $Q$ es $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}[1]\oplus ... \oplus \mathbb{Z}[\dim(Q)]$ . Otro resultado muy importante es el teorema de nilpotencia de Rost, que afirma que el núcleo del functor de cambio de campo sobre grupos de Chow de cuádricas está formado por nilpotentes. Este resultado es muy fructífero porque implica que el estudio del motivo de las cuádricas puede hacerse sobre un campo que divide la cuádrica, trabajando con ciclos racionales en lugar de ciclos sobre el campo base. Aunque estos resultados motivacionales dan severas restricciones a los índices de Witt superiores de las cuádricas y tienen aplicaciones muy importantes, el motivo no contiene "todo" sobre las formas cuadráticas asociadas (incluso en términos de índices de Witt superiores).

Otra clase de variedades interesantes para los cálculos motivacionales son los espacios celulares, es decir, los esquemas $X$ dotado de una filtración por subesquemas cerrados $\emptyset \subset X_0\subset ... \subset X_n= X$ y haces afines $X_i\setminus X_{i-1}\rightarrow Y_i$ . En esta situación, el motivo de $X$ es isomorfo a la suma directa de (desplazamientos) de los motivos de la $Y_i$ . Por ejemplo, la filtración de $\mathbb{P}^n$ dado por $X_i=\mathbb{P}^i$ y esos haces afines están dados por el morfismo estructural de $\mathbb{A}^{i}$ implican la descomposición motivacional $M(\mathbb{P}^n)=\mathbb{Z}\oplus ... \oplus \mathbb{Z}[n]$ Como puedes ver, este es el mismo motivo que los cuadriculados dimensionales de impar, así que ciertamente pierdes información.

La situación es mucho más complicada sustituyendo las formas cuadráticas por variedades homogéneas proyectivas, pero aún así, bajo algunos supuestos se pueden recuperar algunos resultados como el teorema de nilpotencia de Rost, y ahora empezamos a tener una buena descripción de su motivo. Bajo estos supuestos el motivo de las variedades proyectivas homogéneas codifica informaciones sobre la variedad subyacente, como la dimensión canónica, con el ejemplo del cálculo de las de las variedades generalizadas de Severi-Brauer. También se han realizado algunos trabajos para relacionar los motivos en este caso con los índices de Tits superiores de los grupos algebraicos subyacentes.

Sólo para citar algunos matemáticos a los que debemos estos grandes resultados: V. Chernousov, N. Karpenko, A. Merkurjev, V.Petrov, M. Rost, N.Semenov, A. Vishik, K. Zainoulline y probablemente muchos otros que he olvidado mencionar.

edit : para añadir más precisión a las bonitas respuestas del Sr. Chandan Singh Dalawat y del Sr. Evgeny Shinder, los motivos de las variedades Severi-Brauer (habituales) de las álgebras divididas son efectivamente los mismos que los del espacio proyectivo y los de las cuádricas divididas (en dimensión impar), pero es obvio que en el campo base no son necesariamente isomorfos, ya que la variedad Severi-Brauer es totalmente dividida mientras haya un punto racional, mientras que una forma cuadrática isotrópica no es totalmente dividida.

Answer 3

Realmente no sé lo que son los motivos, pero quizás cualquier cónica proyectiva suave sobre $\mathbb{Q}$ tiene el mismo motivo que $\mathbb{P}_1$ . Así que se pierde información sobre los lugares donde la cónica tuvo una mala reducción. Lo mismo ocurre con las formas retorcidas de $\mathbb{P}_n$ .

Además, quizás cualquier torsor bajo una variedad abeliana $A$ tiene el mismo motivo que $A$ Así, se pierde información sobre si el torsor tiene un punto o no.

Siéntase libre de criticar o corregirme.

Bonificación. Un error en MO me impide hacer preguntas. Mientras Anton lo arregla, permíteme dar una traducción libre de la "respuesta" anterior al francés..:

No tengo ni idea de cuáles son los patrones, pero me parece que cualquier cónica lisa proyectiva sobre $\mathbf{Q}$ con el mismo motivo que $\mathbf{P}_1$ . Por lo tanto, el patrón no recuerda los lugares en los que la cónica tuvo un mal reducción. Lo mismo puede decirse de las formas retorcidas de $\mathbf{P}_n$ .

También, un torsor bajo una variedad abeliana $A$ probablemente tiene el mismo motivo como $A$ por lo que no recuerda si el torsor tenía un punto racional o punto o no.

No dude en criticar o corregir esta respuesta, así como la francesa.