Cómo resolver $(a-x)^{1.4}-bx=0$ ?

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente ecuación algebraicamente : $$(1.722-x)^{1.4}-0.565x=0$$

Puedo encontrar la solución con Matlab utilizando la función simbólica solve o una aproximación mediante series de Taylor- la respuesta es $1.039.$

He pensado en empezar por este $$(1.722-x)^7-(.565x)^5=0$$ pero resulta que no hay soluciones algebraicas de ecuaciones polinómicas de grado $\ge5$ por el Teorema de Abel-Ruffini .

¿Hay alguna forma de hacerlo? ¿Cómo? Si no es así, ¿cómo puedo saberlo?

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Otra subpregunta que me surgió al hacer mis búsquedas es:

¿Por qué sólo hay una solución proporcionada por Matlab mientras que $$(1.722-x)^7-(.565x)^5=0$$ debería tener $7$ ya que la ecuación es de grado $7$ ?

¿Y el teorema de Abel-Ruffini con una ecuación de la forma $ax^6+bx^3+c$ ? Puedo resolverlo usando $y=x^3$ y por lo tanto contradice el Teorema. Supongo que lo he interpretado mal.

Answer 1

En números enteros, su ecuación es:

$$(1722 - 1000x)^7 - 10^6 (565x)^5 = 0$$

O:

$$2\cdot(861-500x)^7 - 5^7\cdot 113\cdot x^5 = 0$$

La forma de determinar si esto tiene una solución en radicales es calcular el Grupo de Galois que es un subgrupo de $S_7$ y determinar si es solucionable . Si es así, entonces hay una solución en los radicales.

Puede realizar este cálculo con la función calculadora en línea para Magma:

P<x>:=PolynomialRing(Rationals());

GaloisGroup(2*(861-500*x)^7 - 5^7 * 113 * x^5);

Esto devuelve un grupo de orden $5040$ . En otras palabras, el grupo de Galois es exactamente $S_7$ y por lo tanto no hay solución en los radicales. Puede haber soluciones en términos de otras funciones, pero esta es una cuestión de alcance mucho más amplio.

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Por cierto, hay siete raíces distintas de esta ecuación, pero seis de ellas son complejas.

Answer 2

Para empezar, tus dos primeras ecuaciones no se pueden resolver algebraicamente.

Teorema de Abel-Ruffini simplemente afirma que no podemos encontrar soluciones radicales para el polinomio general de grado 5 o superior.

Pero, obviamente, podemos resolver su último problema con una simple sustitución. O considera lo siguiente: $$x^n=0,n\ge5$$$$ x=0$$

El teorema no tiene nada que le impida encontrar soluciones, simplemente le impide resolver $$ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$$

El fallo de Matlab para encontrar las 7 soluciones de su polinomio no es gratuito. Encontrar tales raíces es de alta dificultad y los métodos a veces fallan.

También observo que las otras 6 raíces se pueden encontrar aquí, Considero que Wolfram|Alpha es muy fiable.

Si no puedes ver las 6 raíces complejas, simplemente pulsa el botón "mostrar más raíces".

Si está realmente interesado en este tipo de soluciones, puede probar aquí. Desplácese hacia abajo para ver la solución para $x$ y pulsar el botón del formulario exacto.

Answer 3

$a=1.722-x$ -------------PARA HACER LA VIDA MÁS FÁCIL

$(1.722-x)^{1.4} - .565x=0$ ------- donde sustituimos (1,722-x) por a

$a^{1.4}+.565a-.97293=0$

$a^7+(.565a^5)=(.97293)^5$ ------multiplica las potencias por 5 para tener un número entero.

$\ln(a^7)+\ln(.565)+ln(a^5)=ln(.97293^5)$ --- Aquí, usamos el logaritmo natural-

también hay que tener en cuenta que ln(.565*a^5) = ln(.565)+ ln(a^5)

$\ln(a^7)+\ln(.565)+ln(a^5)=ln(.97293^5)$ --------- utilizado el concepto superior

$\ln(a^7)+\ln(a^5)=ln(.97293^5)-ln(.565)$ ----------Junta términos similares.

$\ln(a^7)+\ln(a^5)= 4337/10000 $ ----------ln(.97293^5)-ln(.565)= ~.4337

$70000\ln(a)+50000\ln(a)=4337 --------------\ln(a^7) = 7\ln(a)$

$12000\ln(a)=4337$

$12\ln(a)=4337/10000 -------- \ln(a^12)=\ln(e^{4337/10000})$

$a^12=e^{4337/10000} -------- \ln(e^a)=a$

$a=e^{4337/120000}$

$a=1.0368$

Es el valor sin solución negativa o imaginaria.

Si tienes alguna duda, mándame un mensaje privado.