¿Qué hace el discriminante de una expresión algebraica campo de número de significar intuitivamente?

Question

Si $E/F$ es una extensión finita de campos y $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$ es una base de $E/F$, el discriminante de $\{\alpha_1,\ldots, \alpha_n\}$ $$\det(\operatorname{Tr}_{E/F}(\alpha_i\alpha_j))$$

Quiero saber si hay alguna otra interpetration de esta cantidad? Cuál es la información que en realidad transmite esta cantidad?

Answer 1

El discriminante tiene una interpretación geométrica como el cuadrado de volumen. La analogía a tener en cuenta es que el emparejamiento $(x,y) \mapsto {\rm Tr}_{E/F}(xy)$ en un número finito de extensión de los campos de $E/F$ es análoga a la de emparejamiento $(v,w) \mapsto v \cdot w$ para los vectores $v$$w$${\mathbf R}^n$. La traza de emparejamiento es una $F$-mapeo bilineal $E \times E \rightarrow F$, mientras que el producto escalar es una ${\mathbf R}$-mapeo bilineal ${\mathbf R}^n \times {\mathbf R}^n \rightarrow {\mathbf R}$.

Si una $n$-dimensiones de la caja en ${\mathbf R}^n$ tiene un vértice en el origen y sus bordes saliendo de el origen se $v_1, \dots, v_n$, entonces la manera tradicional de describir el volumen se utiliza la matriz con la $v$'s de las columnas: el volumen es $|\det A|$ donde $A = [v_1 \cdots v_n]$ $n \times n$ matriz cuyas $j$ésima columna es $v_j$. El producto $A^\top{A}$ $(i,j)$ entrada $v_i \cdot v_j$, y su determinante es$\det(A^\top{A}) = \det(A^\top)\det(A)$,$\det(A)^2$. Por consiguiente, el volumen de la caja es de $\sqrt{\det(A^\top{A})} = \sqrt{\det(v_i \cdot v_j)}$. Así que tenemos dos fórmulas para el volumen de la caja: $$ {\rm volumen} \ = \det[v_1 \cdots v_n] = \sqrt{\det(v_i \cdot v_j)}. $$ Por lo tanto $$ {\rm volumen}^2 \ = \det(v_i \cdot v_j). $$

La sustitución de $n$-dimensional espacio Euclidiano con un número finito de extensión de los campos de $E/F$ grado $n$, y una base $v_1,\dots,v_n$ ${\mathbf R}^n$ con una base $e_1,\dots,e_n$$E/F$, entonces el análogo de $\det(v_i \cdot v_j)$$\det({\rm Tr}_{E/F}(e_ie_j))$, que es el discriminante de la base.

Como un ejemplo de esta analogía en el trabajo, cualquiera de las dos bases de $E/F$ tienen sus discriminantes relacionadas por un valor distinto de cero de la plaza de los factores (es decir, el cuadrado de la determinante del cambio de base de la matriz), y esto es análogo al cuadrado del volumen de las dos cajas en ${\mathbf R}^n$ están relacionadas entre sí por la plaza de la determinante del cambio de base de la matriz. Los cálculos algebraicos subyacente a ambos resultados son muy similares (algunos incluso dicen que es el mismo cálculo).

Como otro ejemplo de la analogía en el trabajo, $\det(v_i \cdot v_j)$ $\det({\rm Tr}_{E/F}(e_ie_j))$ tanto tiene sentido, incluso si el $v_i$'s y $e_i$'s no son bases, y en ese caso los números son $0$. Si el $v_i$'s son linealmente dependientes, entonces, el "cuadro" que intervalo es inferior a $n$-dimensional, así que tiene sentido geométrico que $\det(v_i \cdot v_j)$ $0$ porque $n$-dimensional volumen de la caja es $0$. Si $v_1,\dots, v_n$ es una base, a continuación, $\det(v_i \cdot v_j)$ no $0$ desde el cuadro cruzado por la $v_i$'s $n$-dimensional, por lo que el cuadro tiene un valor distinto de cero volumen. Es $\det({\rm Tr}_{E/F}(e_ie_j))$ valor distinto de cero si $e_1,\dots,e_n$ es una base de $E/F$? Este algebraicas cuestión es más sutil que la situación con los vectores en ${\mathbf R}^n$. Si la función de trazado ${\rm Tr}_{E/F}$ no es idénticamente cero en $E$ $\det({\rm Tr}_{E/F}(e_ie_j)) \not= 0$ cuando el $e_i$'s son una base, pero si la traza es idéntica $0$ de curso $\det({\rm Tr}_{E/F}(e_ie_j)) = 0$ cualquier $e_i$'s en todo. Para los campos de número, o más en general de todos los campos de la característica $0$, la traza no es idéntica $0$ desde ${\rm Tr}_{E/F}(1) = [E:F] \not= 0$$F$. De manera más general, la traza no es idéntica $0$ si y sólo si $E/F$ es un separables de extensión de campo.

Answer 2

Deje $K$ ser un campo de número y $\mathcal{O}_K$ su anillo de enteros. Deje $\sigma_1, ... \sigma_n$ ser el complejo de incrustaciones de $K$, donde $n = r + 2s$, $r$ es el número de la real incrustaciones, y $s$ es el número de conjugar pares de complejos incrustaciones. El $\sigma_i$ proporcionar una incrustación

$$K \to \mathbb{R}^r \times \mathbb{C}^s$$

y la imagen de $\mathcal{O}_K$ $\mathbb{R}^r \times \mathbb{C}^s$ es una celosía. La raíz cuadrada del discriminante de $K$ mide el volumen de una fundamental dominio de este entramado (con respecto a un volumen adecuado de formulario).

En este marco, la descomposición en factores primos de los discriminante también proporciona información importante acerca de ramificación. En particular, la de los números primos ramificaciones en $\mathcal{O}_K$ son precisamente los números primos dividiendo el discriminante. Véase, por ejemplo, Wikipedia.