Encontrar el número igual al coeficiente del polinomio

Question

Espero haber hecho la pregunta correcta para este problema.

Tengo un número $$ \frac{(30!)}{(5!)^2*20!}$$

Y tengo preguntas sobre este número:

• ¿Es este número igual al coeficiente $x^{10}*y^{100}*z^{15}$ en polinomio $ (x^2+y^5+z^3)^{30} $
• ¿Es este número igual al coeficiente $x^{5}*y^{5}*z^{20}$ en polinomio $ (x+y+z)^{30} $

Y las respuestas son, sí son iguales en este coeficiente.

Estuve buscando esto en algunos libros y no pude encontrar el ejemplo de hacer esto. Estaría muy agradecido si alguien pudiera mostrarme cómo debe hacerse.

Answer 1

Son casos especiales de una generalización de la fórmula binomial de Newton: $$ (a+b+c)^n=\sum_{\stackrel{k+h+l=n}{0\leq k,h,l\leq n}}\left( \begin{matrix} n\\ khl\\ \end{matrix} \right)a^kb^hc^l, $$ donde $$ \left( \begin{matrix} n\\ khl\\ \end{matrix} \right):=\frac{n!}{k!\cdot h!\cdot l!} $$

Answer 2

$$(x^2+y^5+z^3)^{30} = ((x^2 + y^5) + z^3)^{30} = \sum^{30}_{k=0} {30\choose k} (x^2 + y^5)^{30-k} z^{3(k)}$$

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El (k+1)º término en una expansión binomial de $(x+y)^n$ se puede encontrar por,

$$T_{k+1} = {n \choose k}x^{n-k}y^k$$

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Poniendo $k = 5$ para la expansión de la pregunta, obtenemos

$$T_{6} = {30 \choose 5}(x^2 + y^5)^{25}z^{3*5}\tag{1}$$

Consideremos ahora la expansión de $(x^2 + y^5)^{25}$

que es, $$\sum^{25}_{k=0} {25\choose k} x^{2(25-k)} + y^{5(k)}$$

Ahora pon $ k = 20$ en la fórmula.

obtenemos

$$T_{21} = {25\choose 20}x^{10}y^{100}\tag{2}$$

A partir de (1) y (2)

El coeficiente es $${25\choose 20}{30 \choose 5} = {(25)!\over 5! \times (20)!} \times {(30)!\over 5! \times (25)!} = {(30)!\over (5!)^2\times(20)! }$$

Lo mismo puede hacerse con la otra pregunta nuestra.