Propiedades de la norma en un dominio euclidiano

Question

Soy consciente de que la Norma Euclidiana no tiene por qué ser única en un dominio determinado, sin embargo mi pregunta es esencialmente: ¿podemos asegurar que las propiedades de la norma siguen siendo las mismas? Más concretamente:

1. Si dejamos que la función Norma sea $N$ ¿es siempre cierto que $N(a) = 0$ si $a = 0$ ? ¿Por qué?

2. ¿Cuándo permitimos que la función Norma tenga la propiedad de la multiplicidad? Por ejemplo, de Irlanda y Rosen surge el problema: De las propiedades de $N$ deducir la identidad $$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2$$ Dejo que $\alpha = a + bi$ y $\beta = c + di$ y utilizar el hecho de que $N(\alpha)N(\beta) = N(\alpha\beta)$ . Sin embargo, ¿está justificada esta suposición? He visto que algunas fuentes asumen la multiplicidad de la norma, mientras que otras no lo indican en la definición.

Gracias.

Answer 1

1. La condición N(a-bq) < N(b) es invariable al sustituir N(x) por N(x)+1.

2. No se sabe si cualquier anillo euclidiano es euclidiano con respecto a un función multiplicativa. La multiplicatividad de la función euclidiana se utiliza en general para simplificar la prueba de que los anillos euclidianos son factoriales (UFD), pero no sé si, por ejemplo, el anillo ${\mathbb Z}[\sqrt{14}]$ , que fue demostró que es euclidiano con respecto a la función euclidiana mínima por Harper, es euclidiano con respecto a una función multiplicativa.