¿Por qué no se desplaza Hom con la toma de tallos?

Question

He estado aprendiendo sobre gavillas y estoy pensando en el siguiente problema. Sea $F$ y $G$ sean gavillas, digamos de grupos abelianos, sobre un espacio $X$ . La gavilla $Hom(F, G)$ se define por $Hom(F, G)(U)=Mor(F|_U, G|_U)$ . Dado un punto $p \in X$ y un conjunto abierto $U$ que contiene $p$ , un morfismo $\varphi: F|_U \rightarrow G|_U$ induce un homomorfismo sobre los tallos $\phi: F_p \rightarrow G_p$ que es un elemento de $Hom(F_p, G_p)$ . Así, por la propiedad universal de los límites directos, tenemos un homomorfismo de $Hom(F, G)_p$ a $Hom(F_p, G_p)$ . Sin embargo, esto no es en general inyectivo o suryectivo. ¿Por qué no lo es? Se agradecería mucho un ejemplo o una pista que conduzca a un ejemplo. He pensado en esto para algunas gavillas simples (como las gavillas de rascacielos), pero parece ser cierto en esos casos.

También me interesa una respuesta más general, si es que la hay, es decir, algo de teoría de categorías sobre Hom y límites directos.

Answer 1

He aquí una respuesta a su petición de ejemplos. Tome $p$ para ser un punto cerrado no aislado en su espacio topológico favorito $X$ . Sea $H$ sea un grupo abeliano no trivial.

$Hom(F,G)_p\to Hom(F_p,G_p)$ no es surjetivo

Dejemos que $G$ sea la gavilla constante $H$ y que $F$ sea la gavilla del rascacielos en $p$ con tallo $H$ . Entonces $Hom(F,G)$ es la gavilla cero: cualquier sección de $F$ es trivial lejos de $p$ por lo que un homomorfismo lo llevaría a una sección de $G$ que es trivial lejos de $p$ pero cualquier sección de $G$ que es trivial lejos de $p$ debe ser trivial, por lo que cada sección de $F$ debe llevarse a la sección trivial de $G$ . Así que $Hom(F,G)_p=0$ pero $Hom(F_p,G_p)=Hom(H,H)\neq 0$ .

$Hom(F,G)_p\to Hom(F_p,G_p)$ no es inyectiva

Dejemos que $V=X\setminus p$ y que $F=G$ sea la extensión por cero de la gavilla constante $H$ en $V$ (es decir, es la gavilla constante $H$ en $V$ y $F(U)=0$ si $U\not\subseteq V$ ). Entonces $F_p=G_p=0$ pero $Hom(F,G)(U)$ contiene una copia natural de $Hom(H,H)\neq 0$ para cualquier $U$ Así que $Hom(F,G)_p$ contiene una copia natural de $Hom(H,H)\neq 0$ así que no es cero.

Answer 2

Este mal comportamiento se debe a que la coordenada derecha de Hom no conmuta con los colímites (los límites directos son un tipo especial de colímite filtrado Así que esto responde a tu pregunta), y la coordenada de la izquierda los convierte en límites (esto es un fenómeno general en la teoría de categorías y se deduce de la definición de límite (resp. colímite)).

También debo señalar que estás tratando de convertir dos colimits en uno, y realmente no veo por qué esperas que esto funcione.

Por ejemplo, la siguiente deducción es válida: $Hom(F_p,G_p)\cong Hom(colim_{p\in U}F(U),G_p)\cong lim_{p\in U}Hom(F(U),G_p)$ . Sin embargo, esto parece un objeto matemático muy diferente al que mencionas. Suponiendo, por el bien del argumento, que $F(U)$ es de presentación finita para todo $U$ Si no se puede, también podemos sacar el colimit delante, pero esto no nos acerca a nuestro objetivo.

Answer 3

Aquí hay una explicación algo abstracta que da una "razón más profunda" de por qué Hom no se conmuta con la toma de tallos. En lógica categórica, es bien sabido que, en general, sólo los llamados construcciones geométricas conmutan con la toma de imagen inversa bajo morfismos geométricos. El cálculo del tallo en un punto es un ejemplo de este proceso de toma de imagen inversa.

La respuesta de Anton muestra que la construcción de Hom no es geométrica en general.

Pero hay una situación muy general en la que $\mathcal{H}om(F, \cdot)$ es geométrico. Es decir, basta con que $F$ para ser un $\mathcal{O}_X$ -en un espacio anillado $X$ que es de presentación finita en torno a $x \in X$ es decir, que existe una secuencia exacta corta $$ \mathcal{O}_X^n \longrightarrow \mathcal{O}_X^m \longrightarrow F \longrightarrow 0 $$ en un barrio abierto de $x$ . (Se puede utilizar la gavilla constante $\underline{\mathbb{Z}}$ como la gavilla de estructura $\mathcal{O}_X$ si quieres quedarte en el entorno de gavillas de grupos abelianos). Esto se debe a que en este caso $\mathcal{H}om(F, G)$ es canónicamente isomorfo a $$\left\{ x \in G^m \,\middle|\, \sum_i a_{ij} x_i = 0 \in G, j = 1,\ldots,n \right\},$$ donde $A = (a_{ij}) \in \mathcal{O}_X^{m \times n}$ es la matriz de presentación y $G$ es una arbitraria $\mathcal{O}_X$ -y esta construcción es claramente geométrica.