¿Por qué debería preferir los paquetes a las inmersiones (sobreyectivas)?

Question

Espero que esta pregunta no sea demasiado abierta para MO --- no es mi tipo de pregunta favorita, pero creo que podría haber una buena respuesta. Si los comentaristas lo desean, me encantará hacer la pregunta CW, pero también quiero que los que respondan ganen puntos por las buenas respuestas, así que...

Dejemos que $X,Y$ sean variedades suaves. Un mapa suave $f: Y \to X$ es un paquete si existe una variedad lisa $F$ y una cubierta $U_i$ de $X$ tal que para cada $U_i$ hay un difeomorfismo $\phi_i : F\times U_i \overset\sim\to f^{-1}(U_i)$ que entrelaza las proyecciones a $U_i$ . Este no es mi tipo de definición favorito, porque exige la existencia de una estructura sin ninguna singularidad, pero no quiero definir $F,U_i,\phi_i$ como parte de los datos del haz, ya que entonces tendría una noción errónea de morfismo de haces.

Una definición con la que estoy mucho más contento es la de inmersión $f: Y \to X$ que es un mapa suave tal que para cada $y\in Y$ el mapa diferencial ${\rm d}f|_y : {\rm T}_y Y \to {\rm T}_{f(y)}X$ es sobreyectiva. Tengo la impresión de que las inmersiones tienen todo tipo de buenas propiedades. Por ejemplo, las preimágenes de puntos son submanifolds incrustados (¿quizás las preimágenes de submanifolds incrustados son submanifolds incrustados?).

Por lo tanto, conozco varias formas en las que las inmersiones son agradables. Cualquier haz es en particular una inmersión, y lo contrario es cierto para las inmersiones propias (un mapa es adecuado si la preimagen de cualquier conjunto compacto es compacta), pero, por supuesto, en general hay muchas inmersiones que no son paquetes (tome cualquier subconjunto abierto de $\mathbb R^n$ por ejemplo, y proyectar a una coordenada $\mathbb R^m$ con $m\leq n$ ). Pero en los trabajos que he realizado, nunca he necesitado más de un bulto que el de una inmersión. Por otra parte, tiendo a hacer cosas muy locales, pensando en vecindades formales de puntos y cosas así.

Por lo tanto, me pregunto para algunas aplicaciones en las que realmente necesito usar un haz --- donde algún hecho importante no es cierto para las submersiones generales (o, submersiones surjetivas con fibras conectadas, digamos).

Answer 1

Una sería que un haz de fibras $F \to E \to B$ tiene una secuencia exacta larga de homotopía

$$ \cdots \to \pi_{n+1} B \to \pi_n F \to \pi_n E \to \pi_n B \to \pi_{n-1} F \to \cdots $$

Esto no es cierto para una inmersión, por un lado, la fibra en una inmersión no tiene un tipo de homotopía consistente a medida que se varía el punto en el espacio base.

Answer 2

No veo ninguna razón para preferir los paquetes a las inmersiones, a no ser que necesites paquetes. Si no necesitas la estructura global extra que implica un paquete, entonces por todos los medios quédate con las submersiones.

Answer 3

Consideremos la co-dimensión 0. En este caso, los haces son mapas de cobertura, con todas las ventajas que conllevan. Y las inmersiones son sólo homeomorfismos locales, no muy emocionantes comparados con las coberturas.

Answer 4

Usted escribe:

Por lo tanto, me pregunto para algunas aplicaciones en las que realmente necesito usar un haz --- donde algún hecho importante no es cierto para las submersiones generales (o, submersiones surjetivas con fibras conectadas, digamos).

En realidad, voy a hacer de abogado del diablo: a veces es mejor tener ¡una inmersión! Este punto surge de forma muy relevante en la teoría clásica de suavización de las variedades topológicas. Siebenmann (véase el libro de Kirby y Siebenmann) define un espacio de moduli de alisamientos de una variedad topológica $M$ para ser el espacio de $$(N,f)$$ tal que $N$ es suave y $f: N \to M$ es un homeomorfismo.

Siebenmann opta por topologizar esto de una manera que parece divertida: un $k$ -simplemente de tales cosas es un par $(N,f)$ , donde ahora $N \to \Delta^k$ es una inmersión suave ( no es necesariamente adecuado si $M$ ¡no es compacto! ) y $f: N \to M \times \Delta^k$ es un homeomorfismo compatible con la proyección a $\Delta^k$ . Esto da una $\Delta$ -(un conjunto simplicial sin degeneraciones). Llamamos a su realización geométrica $\text{Sm}(M)$ .

¿Por qué no topologiza a las familias como haces de fibras?

He aquí la razón:

Dejemos que ${\cal O}_M$ sea el conjunto de subconjuntos abiertos de $M$ que son abstractamente homeomórficas a bolas abiertas. El teorema fundamental de la teoría del alisamiento afirma que el functor contravariante $\text{Sm} : {\cal O}_M \to \text{Top}$ dado por $$ U \mapsto \text{Sm}(U) $$ es una "gavilla de homotopía" si $\dim M \ge 5$ es decir, el mapa (de restricción) $$ \text{Sm}(M) \to \underset{U \in {\cal O}_M} {\text{holim}}\quad \text{Sm}(U) $$ es una equivalencia homotópica. Este no sería el caso si hubiéramos definido las familias como haces (en lugar de como inmersiones). Nota: no podemos apelar aquí a Ehresmann ya que las sumersiones que se utilizan en la definición $k$ -simples en $\text{Sm}(U)$ no se supone que sean adecuados.

Answer 5

También está la versión cohomológica de la respuesta de Ryan: la Secuencia espectral de Leray-Serre que nos dice algunas cosas muy bonitas sobre la cohomología de un haz, y esencialmente nada útil sobre la cohomología de una inmersión. Puedes considerar esto como un caso particular del comentario de Tim.

En general, los geómetras algebraicos y los teóricos de la homotopía trabajan con haces (o, más generalmente, con fibrados), todos los días de su vida, y rara vez se encontrarán con inmersiones. Incluso si no se quiere trabajar en esos campos, su existencia es una buena razón para distinguir los haces de las sumersiones.