El problema de la interrelación de las matemáticas modernas: ¿cómo abordarlo en los cursos de posgrado de primer año?

Question

Hace poco leí en Internet las quejas de Peter May (soy un fanático, se nota, seguro) sobre la enseñanza del tercer trimestre de la secuencia de álgebra de posgrado en la Universidad de Chicago. Este curso se centra en el álgebra homológica y trata de estar lo más actualizado posible. El enigma de May proviene del hecho de que el álgebra homológica está inexorablemente ligada a la topología algebraica y, como resultado, es difícil separar completamente las dos en el curso. May se pregunta si esto es o no una buena idea; sin embargo, dado que se trata de un curso de álgebra y no de topología, se siente obligado a esforzarse por hacerlo.

Dicho esto, plantea un problema pedagógico muy bueno en la enseñanza de las matemáticas, sobre todo en el nivel de posgrado, donde las mejores escuelas intentan preparar a los estudiantes para que entren en la investigación lo antes posible. Las matemáticas son ahora una disciplina muy holística y entrelazada: El álgebra impregna cada vez más prácticamente todas las matemáticas, el estudio de las variedades requiere ahora herramientas analíticas muy sofisticadas procedentes de las ecuaciones diferenciales y el análisis funcional, la teoría de la probabilidad participa ahora de una cantidad considerable de análisis armónico, la física matemática es ahora un actor principal en la construcción de nuevas estructuras matemáticas Podría seguir y seguir, pero se entiende la idea.

Así que esta es la pregunta: ¿Está obsoleto el viejo modelo de mantener las subdisciplinas de las matemáticas separadas en los cursos para centrarse en ellas? Sé que, en las últimas décadas, muchos matemáticos han empezado a recurrir a varias disciplinas a la hora de construir las secuencias de primer año de posgrado de la mayoría de las universidades; Columbia es un ejemplo local. La cuestión es si van lo suficientemente lejos. El problema, por supuesto, es que cuando se empiezan a debilitar esas barreras artificiales, se corre el riesgo de que se derrumben por completo y se acabe con una mezcolanza de teoría y métodos que parece no tener foco.

Así que, ¿alguien quiere comentar cuál podría ser la solución aquí desde sus propias experiencias como profesores y estudiantes? ¿Hasta dónde deberían llegar los cursos en cuanto a su interrelación? Y ¿conduce esto a que los estudiantes de posgrado estén mejor preparados para el nivel de investigación?

Answer 1

Me pregunto si las matemáticas son realmente tan holísticas y están tan entrelazadas como algunos pretenden.

Ciertamente, hay algunos fenómenos de la naturaleza que pueden entender el 20% de las matemáticas que existen e incorporar ideas de 10 subcampos diferentes en su trabajo. Un grupo más numeroso de nosotros es capaz de comprender el panorama general, aunque quizá no todos los detalles de 4 o 5 subcampos diferentes, al menos hasta el punto de saber cuándo recurrir a un experto. Muchos estudiantes de posgrado, y la mayoría de ellos una vez que abandonan el mundo de los diez o veinte departamentos más importantes, sólo son capaces de aprender un subcampo lo suficientemente bien como para escribir una disertación estrechamente centrada en un problema de ese subcampo, ignorando todas las conexiones más amplias, si es que las hay. La mayoría de los artículos publicados están escritos por personas que nunca han realizado un trabajo serio fuera de un único y estrecho subcampo en toda su carrera, aunque no ocurra lo mismo con los mejores artículos.

Un profesor o un departamento puede optar por orientar su educación hacia el futuro medallista Fields (o, de forma algo más amplia, hacia los futuros beneficiarios de becas de investigación de la NSF o equivalentes), pero ¿es esto realmente justo para los otros 19 estudiantes de la sala?

Answer 2

Por supuesto, hay que mostrar a los estudiantes, teniendo en cuenta sus antecedentes, que el material que están aprendiendo en un curso es relevante en otro. De este modo, los alumnos tendrán más claro que los temas que están estudiando tienen una amplia utilidad. Al mismo tiempo, si sabe que los estudiantes no tienen una formación que les permita apreciar los tecnicismos procedentes de otras disciplinas (no todo el mundo en álgebra ha tenido topología algebraica), entonces puede que tenga que limitarse a hacer algunas observaciones generales, aunque quizá una o dos ejemplos especiales trabajados de las otras disciplinas sería accesible sin mucha maquinaria.

Cuando hablé de los caracteres en un curso de álgebra, les expliqué un poco sobre las series de Fourier, tanto por el contexto (de lo contrario, el concepto puede parecer bastante lejano) como para que vieran que los teoremas, por lo demás idiosincrásicos, sobre los caracteres están relacionados con propiedades de las series de Fourier.

No creo que estas discusiones en un curso de primer año vayan a hacer que los estudiantes sean mejores investigadores, pero sí que aprecien mejor lo que se supone que están aprendiendo.

Answer 3

He estudiado casi uniformemente los aspectos algebraicos homológicos antes de estudiar los resultados correspondientes de la topología algebraica. En algunos momentos se ha vuelto un poco artificial - específicamente las categorías trianguladas hacen un lote más sentido una vez que has visto las fibraciones de Serre que antes de hacerlo.

Sin embargo, me sentí bastante motivado por los enfoques que encontré; con el estudio de Ext y Tor para adivinar propiedades interesantes de los anillos tomando la delantera en el álgebra homológica, con un plato de acompañamiento de aproximación de módulos por cosas que son libres en todas partes que importa, pero sacrificar la concentración de grado para lograrlo.

Mi opinión personal es que probablemente depende en gran medida de si quien enseña el material quiere enseñar álgebra homológica o topología algebraica: si eres más feliz pensando en topología, entonces el álgebra homológica se sentirá desolada y artificial casi sin importar lo que hagas al respecto; mientras que si estás genuinamente interesado en el álgebra homológica por sí misma, es mucho más fácil espolvorear las rampas de salida a medida que avanzas, señalando dónde ciertos conceptos tienen raíces fuera del área actual, y cómo obtener más información sobre las raíces.

Answer 4

Sólo soy un estudiante de primer año de posgrado, pero estoy muy interesado en la educación matemática. Mi enfoque de la enseñanza se basa en gran medida en los problemas: dar a los estudiantes problemas interesantes que lleven al desarrollo de los conceptos que uno quiere que tengan. Incluso si no pueden llegar a todos los conceptos necesarios por sí mismos, si se los das después de que hayan luchado con un problema, será mucho más probable que puedan aplicar el concepto en situaciones novedosas en el futuro. ¿Por qué no se podría aplicar este enfoque en una situación de graduación de matemáticas? Diseñar una secuencia de problemas, de dificultad variable, que en total cubran el material necesario de la mayor parte del "plan de estudios de primer año".

Antes de descartar esto como una idea descabellada, me gustaría señalar la escuela de veterinaria de Cornell. Utilizan exactamente el modelo que se ha mencionado anteriormente: Cada semana o dos hay un nuevo caso. En cada una de tus clases (anatomía, farmacología, radiología, ...etc) cubres la información general que es pertinente para el caso de la semana, pero depende de ti y de tu equipo hacer la investigación, llegar a un diagnóstico y un método de tratamiento. Así que todas las clases que tomas se integran juntas en el contexto de la resolución de algunos problemas reales. Cornell está produciendo algunos veterinarios increíbles. ¿Por qué no podría funcionar el mismo modelo para las matemáticas?