El centralizador de un subgrupo normal finito tiene índice finito

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo (no necesariamente finito) y $N\lhd G$ . Demuestre que si $N$ es finito entonces $C_G(N)$ tiene un índice finito en $G$ . Demuestre además que si $N$ es finito y $G/N$ es cíclico entonces el centro $Z(G)$ tiene un índice finito.

Estos dos me están volviendo loco, y simplemente no puedo resolverlos... Se agradece cualquier ayuda

Answer 1

Desde $N$ es normal, $G$ actúa sobre $N$ por conjugación, dando un homomorfismo de $G$ à $\rm{Aut}(N)$ . El núcleo de este mapa es exactamente $C_G(N)$ por lo que desde $N$ sólo tiene un número finito de automorfismos, el índice debe ser finito.

Para la segunda, tenemos $G = N\left< g \right>$ para algunos $g\in G$ (sólo hay que tomar un generador del cociente). Ahora, tenemos que $\left< g \right>$ actúa sobre $N$ por conjugación, por lo que el núcleo del mapa correspondiente tiene índice finito en $\left< g \right>$ . Pero todos los elementos de este núcleo conmutan con todo en $N$ y también con todo en $\left< g \right>$ y por lo tanto con todo en $G$ , por lo que el centro de $G$ contiene este núcleo, lo que significa que debe tener un índice finito.

Esta es una versión más general: Dejemos que $G$ sea un grupo con un subgrupo normal finito $N$ y un subgrupo abeliano $H$ tal que $G = NH$ . Entonces $Z(G)$ tiene un índice finito en $G$ . La prueba es la misma que la anterior, ya que $H$ actúa sobre $N$ por conjugación y el núcleo está contenido en $Z(G)$ y tiene un índice finito en $H$ que tiene un índice finito en $G$ .

Answer 2

Para su primera pregunta, utilice $N/C$ teorema:

$(N/C)$ Teorema: Si $G$ es un grupo y $N\subset G$ entonces $N_G(N)/C_G(N)$ es isomorfo a un subgrupo de $\text{Aut}(N)$ .

Así que desde $N$ es normal en el grupo por lo que el normalizador del mismo es $G$ y tenemos $G/C_G(N)\cong S\leq Aut(N)$ que es finito.