Construir un cuadrilátero con ángulos y diagonales perpendiculares dados

Question

Lo siguiente surgió cuando trabajé en la respuesta para una pregunta diferente (aunque finalmente no se utilizó de esta forma):

Propuesta. Dados los ángulos positivos $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ con $\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ$ , $\beta<180^\circ$ , $180^\circ< \alpha+\beta<270^\circ$ , $180^\circ< \beta+\gamma<270^\circ$ existe un cuadrilátero convexo $ABCD$ con $\angle A=\alpha$ , $\angle B=\beta$ , $\angle C=\gamma$ , $\angle D=\delta$ , habiendo $AC\perp BD$ .

Prueba: Ignorando la condición de ortogonalidad, hay muchos cuadrángulos posibles con los ángulos dados que pueden transformarse continuamente entre sí. Para ello, dejemos que $P$ denotan la intersección de $AC$ y $BD$ . En el caso degenerado $A=B$ obtenemos $\angle CPD=\alpha+\beta-180^\circ<90^\circ$ en el caso degenerado $B=C$ obtenemos $\angle DPA=\beta+\gamma-180^\circ<90^\circ$ . Entonces el Teorema del Valor Intermedio garantiza la existencia de un caso en el que $\angle CPD=90^\circ$ . $_\square$

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Mi pregunta es: ¿Puede alguien proporcionar una prueba no ¿se basan en argumentos de continuidad? Es decir, ¿algo más clásico y constructivo como el compás griego?

Editar: Tuve que actualizar y añadir $\beta<180^\circ$ a la condición de la proposición - la antigua versión habría permitido $\beta\ge180^\circ$ y, por tanto, ningún cuadrilátero convexo. Si permitimos que los cuadriláteros no convexos y las diagonales se interesen en el exterior, esta condición adicional debería ser innecesaria.

Answer 1

Considere una solución hipotética $\square ABCD$ con diagonales que se encuentran en $X$ y con las medidas de los ángulos y las longitudes de los segmentos como se indica:

Entonces

$$\tan \alpha = \tan A = \tan(\alpha_1 + \alpha_2) = \frac{\tan\alpha_1+\tan\alpha_2}{1-\tan\alpha_1\tan\alpha_2} = \frac{\frac{d}{a}+\frac{b}{a}}{1-\frac{d}{a}\frac{b}{a}} = \frac{a(b+d)}{a^2-bd} \tag{1}$$ $$\tan\beta = \frac{b(a+c)}{b^2-ac} \tag{2}$$ $$\tan\gamma = \frac{c(b+d)}{c^2-bd} \tag{3}$$ $$\tan\delta = \frac{d(a+c)}{d^2-ac} \tag{4}$$

Para demostrar que esta solución hipotética es válida, sólo tenemos que resolver las ecuaciones (1) a (4) para $b$ , $c$ , $d$ en términos de $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ y $a$ (que podemos considerar como $1$ ). Esto es factible, y el álgebra no se complica más que las cuadráticas (para que la solución sea construible), pero las expresiones son un poco desordenadas. Voy a publicar más después de hacer un poco de limpieza.

Editar. Tras una considerable manipulación, (creo) las ecuaciones anteriores se reducen a éstas: $$\begin{align} (a^2-b^2)\sin\alpha\sin\beta \cos(\gamma+\beta) + a b \left( \sin\alpha \cos(\gamma+2\beta) + \cos\alpha\sin\gamma \right) &= 0 \\[4pt] (a^2-d^2)\sin\alpha\sin\delta \cos(\gamma+\delta)\;+ a d \left( \sin\alpha \cos(\gamma+2\delta) + \cos\alpha\sin\gamma \right) &= 0 \\[4pt] 2 (a^2+c^2) \sin\alpha\sin\gamma \cos(\gamma+\beta) \cos(\gamma+\delta) \qquad- a c ( k + \sin^2(\alpha-\gamma) ) &= 0 \end{align}$$ donde $$k := -1 + \sin^2\alpha + \sin^2\beta + \sin^2\gamma + \sin^2\delta + \cos(\alpha-\gamma) \cos(\beta-\delta)$$

En consecuencia, tenemos $$\begin{align} \frac{b}{a} &= -\frac{ \sin\alpha \cos(\gamma+2\beta) + \cos\alpha \sin\gamma \pm \sqrt{k}}{2\sin\alpha \sin\beta \cos(\gamma+\beta)} \\[6pt] \frac{d}{a} &= -\frac{ \sin\alpha \cos(\gamma+2\delta) + \cos\alpha \sin\gamma \pm \sqrt{k}}{2\sin\alpha \sin\delta \cos(\gamma+\delta)} \\[6pt] \frac{c}{a} &= \frac{ k + \sin^2(\alpha-\gamma) \pm 2 \sin(\alpha-\gamma) \sqrt{k}}{4 \sin\alpha \sin\gamma \cos(\gamma+\beta)\cos(\gamma+\delta)}= \frac{\left(\;\sin(\alpha-\gamma) \pm \sqrt{k} \;\right)^2 }{4 \sin\alpha \sin\gamma \cos(\gamma+\beta)\cos(\gamma+\delta)} \end{align}$$ donde, al menos por ahora, la resolución del " $\pm$ " se deja como ejercicio al lector.

Obsérvese que la relación $\alpha+ \beta+\gamma+\delta = 360^\circ$ hace que cada una de ellas tenga múltiples representaciones. No pretendo haber dado las mejores posibles; de hecho, sospecho que hay representaciones que hacen las relaciones mucho más claras.

Como se ha mencionado, las distintas cantidades son construible ya que las longitudes son como mucho tan complicadas como una raíz cuadrada. La formulación de una estrategia de construcción tendrá que esperar.

Editar 2. Si normalizamos nuestras longitudes, por ejemplo, con una suma constante, $$a + b + c + d = s$$ entonces podemos expresar cada longitud de forma independiente. Con $m := \pm\sqrt{k}$ tenemos $$\frac{a}{s} = \frac{\left(\; m + \sin(\alpha-\gamma) \;\right)\left(\;m + \sin(\beta+\delta) + 2 \sin\beta\sin\delta\;\right)}{2m\left(\;2\sin(\beta+\delta)+\cos(\beta-\delta)-\cos(\alpha-\gamma) \;\right)}$$ mientras que las expresiones para $b$ , $c$ , $d$ surgen al permutar cíclicamente los ángulos, $\alpha\to\beta\to\gamma\to\delta\to\alpha$ . Una normalización diferente (por ejemplo, $a^2+b^2+c^2+d^2=s^2$ parece una opción clásica) daría lugar a diferentes -potencialmente mejores- representaciones, pero mis intentos de lucha de símbolos no han dado lugar a nada particularmente bonito .

Por cierto, para verificar que las relaciones anteriores se mantienen, ayuda saber que $$m^2 - \sin^2(\alpha-\gamma) = 4\sin\alpha\sin\gamma\cos(\gamma+\beta)\cos(\gamma+\delta)$$ Por lo tanto, multiplicando $a$ por el $c/a$ anterior resulta ser una forma demasiado complicada de dar la vuelta a un solo signo: $m + \sin(\alpha-\gamma) \;\to\; m - \sin(\alpha-\gamma)$ que coincide con el proceso considerablemente más fácil de intercambiar $\alpha$ y $\gamma$ (e intercambiando $\beta$ y $\delta$ que en realidad no hace nada) en la fórmula de $a$ .

Answer 2

El problema publicado es equivalente a éste:

Dejemos que $a'$ , $b'$ , $c'$ y $d'$ rayos que parten del punto $M$ , de tal manera que $m(\angle a'Mb')=\alpha$ , $m(\angle b'Mc')=\beta$ , $m(\angle c'Md')=\gamma$ y $m(\angle d'Ma')=\delta$ . Construir un rectángulo $FGHI$ tal que $F \in b'$ , $G \in c'$ , $H\in d'$ y $I \in a'$ . Véase la figura 1 .

Fig.1 - Rectángulo que se desarrolla al cuadrilátero requerido.

La razón: si reflejamos el punto M a través de las líneas $f$ , $g$ , $h$ y $i$ (los lados del rectángulo), obtendremos el cuadrángulo requerido por OP.

Para resolver este nuevo problema, vamos a derivar algunas ecuaciones. Véase la figura 2.

Fig.2 - Rectángulo en un sistema de coordenadas.

Dejemos que $$I=(-1, \tan \alpha),$$ $$F=(-b, 0),$$ $$G=(a, a \tan \beta).$$ Como línea $i$ es perpendicular a la línea $f$ obtenemos: $$a+b=\frac{a \tan \alpha \tan \beta}{1-b} \quad (1),$$ o $$a=\frac{b(1-b)}{ \tan \alpha \tan \beta -1+b} \quad (2).$$ Como $x_H-x_I=x_G-x_F$ obtenemos: $$\tan(\alpha+\delta)- \tan \alpha=(a+b) \tan(\alpha+\delta) +a \tan \beta. \quad(3)$$ Sustituyendo $(1)$ y $(2)$ en $(3)$ obtenemos: $$\tan \beta b^2 + [\tan(\alpha+\delta)- \tan \alpha-\tan\alpha \tan \beta \tan(\alpha+\delta)- \tan \beta]b+ [\tan(\alpha+\delta)- \tan \alpha](\tan\alpha \tan \beta-1)=0. \quad (4)$$ El método de Lill es apropiado para resolver la ecuación $(4)$ para $b$ . Los coeficientes de la ecuación $(4)$ se pueden construir fácilmente, ya que son productos o resultados de sumas/restas de cantidades construibles.

Conociendo el valor de $b$ la construcción del rectángulo y de los reflejos necesarios no es difícil.

Answer 3

Creo que la construcción de la brújula de la regla debería completarse al principio;

[Anteriormente, rehecho. La construcción puede ser completada sólo hasta dos parámetros de arbitrariedad , uno para la escala ( naturalmente como solo ángulos $ \alpha,\beta, \gamma$ y $\delta $ están dadas) y otra para la relación de lados contiguos AB/BD en B.Dibuja AB y AD de manera que el ángulo DAB = $ \alpha$ . Construya un semicírculo sobre AB y AD como diámetros que se cruzan en el punto O, donde las diagonales aún no construidas se cruzarían en ángulo recto.Una OB,OD, OA y extienda AO en el otro lado hacia un punto/dirección aún desconocido C.Marque $ \beta$ y $ \delta $ en B y D respectivamente. Las tres líneas son concurrentes en C formando un ángulo $ 2\pi -( \alpha+\beta+\delta) $ Un Java o Geometric SketchPad puede seguir todas las soluciones cambiando la relación AB/BD o el parámetro con el ratón. Un boceto estático se subiría pronto. No es necesario como respuesta sino para etiquetar. EDIT1: En cuanto a la variación paramétrica, añadiré un detalle que falta aquí].

EDIT2:

Mi enfoque ha cambiado parcialmente, ya que sólo se necesita un círculo.

Los ángulos 1 y 2 son ángulos rectos en un semicírculo. Cuando se fija AB y se trazan las líneas BC,BD, la suma de ángulos $ \gamma + \delta $ es una constante dada. (En la posición 1 o en la posición 2 la suma de ángulos de la línea L1 o L2 es la misma). La inclinación de la línea variable L es una función trigonométrica de $ \theta $ , $ S(\theta) $ que está por resolver. Para una correcta $\theta$ punto de posición en el semicírculo resuelto entre 1 y 2, la línea L se vuelve paralela a CD.La pendiente de L debe coincidir con la de CD.

Espero que alguien se encargue de ello, tengo que irme.

Answer 4

Cualquier solución se puede estirar/retroceder y seguir encajando. Así que puedes elegir una longitud, por ejemplo, la diagonal AC.

Lo siguiente es mucho más fácil de entender si se dibuja mientras se lee (yo mismo no sé cómo proporcionar fácilmente dibujos).

Mi idea es dibujar AC (yo lo haría en horizontal, siendo C a la derecha de A). Entonces los ángulos $\beta$ y $\delta$ le dará arcos que contienen todas las posiciones posibles de los puntos B (arriba) y D (abajo); ambos arcos comienzan en A y terminan en C. (Si uno de los dos ángulos es mayor que $180^∘$ entonces ese arco estará en el otro lado, igual que el otro arco).

Ahora escoge cualquier línea perpendicular a AC que intersecte ambos arcos. Dondequiera que los intersecte, son B' y D'. (Puede que se cruce en 2 lugares, en cuyo caso tienes 2 posibilidades para B' y D'). Si los ángulos $\alpha$ y $\gamma$ son correctas (o ambas son correctas o ambas son incorrectas), entonces, por supuesto, B = B' y D = D'.

Aquí es donde estoy un poco atascado con la construcción Cómo elegir la línea perpendicular correcta para el ángulo $\alpha$ ? Demasiado a la izquierda y el ángulo será demasiado grande, demasiado a la izquierda y el ángulo será demasiado pequeño. Evidentemente, para $\alpha=180^∘$ la línea de intersección debe pasar por A, para la mayor en algún lugar a la izquierda de A, para la menor en algún lugar a la derecha de A.