Convergencia de la serie: $\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^n\arctan (n)}{n+n^{1/2}}$

Question

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \tan^{-1}(n)/(n+(n)^{1/2}).$$ Sé que la serie no es absolutamente convergente. Quiero demostrarlo mediante la prueba de la alternativa. No sé cómo demostrar que la serie $ tan^{-1}n/(n+(n)^{1/2})$ es una secuencia decreciente.

Answer 1

Nótese que para la función arctangente tenemos $\pi/4\le \arctan (n) < \pi/2$ para $n\ge 1$ .

Así,

$$\frac{\pi/4}{n+n^{1/2}}\le \frac{\arctan (n)}{n+n^{1/2}} <\frac{\pi/2}{n+n^{1/2}} $$

para $n\ge1$ .

Por tanto, el pasado positivo de la serie alterna está acotado por $\frac{\pi/2}{n}$ que es claramente decreciente (a cero) con el aumento de $n$ .

Answer 2

Para los grandes $n$ tenemos

$$ \arctan(n) \sim \frac{\pi}{2}-\frac{1}{n}. $$

Answer 3

Puede escribir $$ \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^n\arctan (n)}{n+n^{1/2}}=\frac{\pi}{2}\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^n}{n+n^{1/2}}-\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^n}{n+n^{1/2}}\arctan \left(\frac1n\right). $$ La primera serie del lado derecho es convergente por la prueba de series alternas, la segunda serie es absolutamente convergente, ya que como $n \to \infty$ , $$ \left|\frac{(-1)^n}{n+n^{1/2}}\arctan \left(\frac1n\right)\right|\leq \frac{1}{n+n^{1/2}}\arctan \left(\frac1n\right) \sim \frac{1}{n^{2}}. $$ Su serie inicial es entonces convergente.

Answer 4

Ciertamente, utilizar una prueba de comparación es más fácil, pero esto es lo que requiere la prueba de series alternas.

1) Como la función arctangente tiene un límite superior de $ \ \frac{\pi}{2} \ $ es razonablemente claro que $$ \ \lim_{n \rightarrow \infty} \ \ \frac{\arctan \ n}{n \ + \ n^{1/2}} \ \ = \ \ 0 \ \ , $$

por lo que la serie pasa la "prueba de divergencia".

2) Diferenciar la función real $ \ \frac{\arctan \ x}{x \ + \ x^{1/2}} \ $ nos da

$$ \ \frac{(x \ + \ \sqrt{x}) \ \cdot \ \frac{1}{1 \ + \ x^2} \ - \ \arctan \ x \ \cdot \ ( 1 \ + \ \frac{1}{2 \ \sqrt{x}})}{( \ x \ + \ \sqrt{x} \ )^2} $$ $$ = \ \ \frac{(x^2 \ + \ x\sqrt{x}) \ - \ \arctan \ x \ \cdot \ ( x \ + \ \frac{1}{2} \ \sqrt{x}) \ (1 \ + \ x^2)}{x \ (1 \ + \ x^2) \ ( \ x \ + \ \sqrt{x} \ )^2} \ \ . $$

Como $ \ x \ \rightarrow \ \infty\ $ el denominador crece como $ \ x^5 \ $ el primer término del numerador como $ \ x^2 \ $ y el segundo término como $ \ x^3 \ $ . Dado que el factor arctangente sólo tiende a una constante, esta derivada tenderá aproximadamente a $ \ \frac{1 \ - \ \frac{\pi}{2} \ x}{x^3} \ $ . Así que al menos más allá de un valor finito de $ \ n \ $ los términos son siempre decrecientes.

Por tanto, parece que se cumplen las condiciones de convergencia de las series alternas.