Encontrar el límite de $\left(1-\frac{2}{5n+5}\right)^{3n}$

Question

Tengo dificultades para encontrar este límite: $$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{2}{5n+5}\right)^{3n}$$

Según mis apuntes de la clase tengo que hacerlo de esta forma: $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$$

No tengo ni puñetera idea de cómo resolver esto, pero he resuelto ejercicios similares como: $$\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{2}{n}\right)^n = e^2$$ y así sucesivamente.

Answer 1

Pista. Tenga en cuenta que $$\left(1-\frac{2}{5n+5}\right)^{3n}=\left(\left(1-\frac{2}{5n+5}\right)^{-\frac{5n+5}{2}}\right)^{-\frac{6n}{5n+5}}.$$

Answer 2

Escribir $$(1- \frac{2}{5n+5})^{3n}=e^{\log_e(1- \frac{2}{5n+5})^{3n} }=e^{3n\log_e(1- \frac{2}{5n+5}) }.$$

Cuando $n$ va al infinito $\log(1- \frac{2}{5n+5})$ es asintótica a $\frac{-2}{5n+5}$ . Por lo que se obtiene $$e^{3n \log_e(1- \frac{2}{5n+5})}\sim e^{\frac{-6n}{5n+5}} \rightarrow e^{\frac{-6}{5}}$$ cuando $n\rightarrow + \infty$ .

Answer 3

$$\left(1-\dfrac2{5n+5}\right)^{3n}=\left(\left(1-\dfrac2{5n+5}\right)^{-(5n+5)/2}\right)^{-6n/5n+5}$$

Ahora $$\lim_{n\to\infty}\dfrac{-6n}{5n+5}=\dfrac{-6}{5+\lim_{n\to\infty}\dfrac5n}=?$$

Answer 4

$$\lim_{n\to\infty}(1-\frac{2}{5n+5})^{3n}=\lim_{n\to\infty}\left((1-\frac{\frac{2}{5}}{n+1})^{n+1}\right)^3\lim_{n\to\infty}\left((1-\frac{\frac{2}{5}}{n+1})^{-1}\right)^3=\lim_{n\to\infty}\left((1-\frac{\frac{2}{5}}{n+1})^{n+1}\right)^3(1)=e^{-\frac{6}{5}}$$