Demostrando que $(1-a^{-k})^{n-k} < e^{-(n-k)/a^k}$ para $a>1$ y $n>k>0$ .

Question

Me encontré con esta desigualdad $(1-2^{-k})^{n-k} < e^{-(n-k)/2^k}$ en El método probabilístico por Alon y Spencer. Aunque lo he demostrado tomando los logaritmos naturales de ambas expresiones y encontrando que $\ln(1-2^{-k})<-2^{-k}$ siempre que $k>0$ No estoy satisfecho con este enfoque y quería probarlo empezando por la expresión de la izquierda y llegando a la de la derecha mediante alguna manipulación perspicaz.

Answer 1

Tenemos la identidad $$e^x>1+x$$ para $x\neq 0$ y por lo tanto $$e^{-a^{-k}}>1-a^{-k}$$ para que $$(e^{-a^{-k}})^{n-k}>(1-a^{-k})^{n-k}.$$

Answer 2

Considera que $e^x>1+x$ para $x\neq 0$ . Por lo tanto, $$e^{-1/a^{k}}>1-\frac{1}{a^{k}}.$$ Toma el $n-k$ -a la potencia de ambas partes.