Integral sobre una superficie en 4 dimensiones

Question

Consideremos la integral de una función $f(x,y,z)$ sobre una superficie incrustada en 3 dimensiones. La superficie tiene una parametrización: $$g(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) $$ La integral viene dada por:

$$ \iint_{u,v}f(g(u,v))\|\vec{g}_u \times \vec{g}_v\|\,dudv$$

En palabras, está colocando un sistema de coordenadas curvilíneas sobre la superficie (un sistema de coordenadas de "ajuste de forma" a la superficie). Estas líneas de cuadrícula curvilíneas se utilizan para embaldosar la superficie con elementos de área en forma de paralelogramo. Estos paralelogramos son en realidad aproximaciones lineales a los elementos de área curvilínea.

Pregunta

Consideremos una integral de superficie de una función $f(x,y,z,w)$ sobre una superficie incrustada en 4 dimensiones. La superficie tiene una parametrización: $$ g(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v), w(u,v)) $$

La integral viene dada por $$ \iint_{u,v} f(g(u,v))(\;\;\;\;)dudv$$ Puedo incrustar paralelogramos en 4 dimensiones. Sin embargo mi pregunta es, ¿cuál es la notación utilizada para la aproximación lineal? El producto cruzado no funciona en 4 dimensiones. Así que me preguntaba si debería volver a algo más geométrico: $A = bh$ . Las dos longitudes de los lados de un paralelogramo infinitesimal vienen dadas por $\|\vec{g}_u\|du$ y $\|\vec{g}_v\|dv$ . El ángulo entre ellos viene dado por

$$ \theta = \arccos\Big(\frac{\vec{g}_udu \cdot \vec{g}_vdv}{\|\vec{g}_u\|du\|\vec{g}_v\|dv}\Big) \\ \theta = \arccos\Big(\frac{\vec{g}_u \cdot \vec{g}_v}{\|\vec{g}_u\|\|\vec{g}_v\|}\Big) $$ Y por lo tanto mi integral se convierte en

$$ \iint_{u,v} f(g(u,v)) \|\vec{g}_u\|\|\vec{g}_v\|\sin(\arccos\Big(\frac{\vec{g}_u \cdot \vec{g}_v}{\|\vec{g}_u\|\|\vec{g}_v\|}\Big)) \,dudv$$

¿Es esto correcto? Si es así, ¿existe una notación simplificadora para la aproximación lineal?

Answer 1

Esta es otra forma de pensar en la cantidad $\left| g_u \times g_v \right|$ que se generalizará a más de tres dimensiones. Si $g(u,v) = (x(u,v), \, y(u,v), \, z(u,v))$ entonces el producto cruzado, en componentes, es

$$ g_u \times g_v = (y_u z_v - y_v z_u, \, z_u x_v - z_v x_u, \, x_u y_v - x_v y_u) $$

Su norma al cuadrado es

$$ \begin {align*} \left| g_u \times g_v \right|^2 &= (y_u z_v - y_v z_u)^2 + (z_u x_v - z_v x_u)^2 + (x_u y_v - x_v y_u)^2 \\ &= (y_u z_v)^2 + (y_v z_u)^2 + (z_u x_v)^2 + (z_v x_u)^2 + (x_u y_v)^2 + (x_v y_u)^2 \\ &\phantom{=} - 2 \left( y_uy_vz_uz_v + z_uz_vx_ux_v + x_ux_vy_uy_v \right) \end {align*} $$

Un rápido cálculo le convencerá de que esto es igual a

$$ \left| g_u \right|^2 \left| g_v \right|^2 - \left( g_u \cdot g_v \right)^2 $$

Así que en conclusión, podemos pensar en esta cantidad de elementos de área como

$$ \left| g_u \times g_v \right| = \sqrt{\left| g_u \right|^2 \left| g_v \right|^2 - \left( g_u \cdot g_v \right)^2} $$

También es la raíz cuadrada del determinante de la matriz

$$ G = \left( \begin{array}{cc} g_u \cdot g_u & g_u \cdot g_v \\ g_v \cdot g_u & g_v \cdot g_v \end{array} \right) $$

Ahora, este enfoque debería dar el elemento de área correcto para las superficies incrustadas en un espacio de mayor dimensión. En su ejemplo de una superficie en $\Bbb{R}^4$ con $g(u,v) = (x,y,z,w)$ , todavía tiene sentido considerar

$$ g_u = (x_u,y_u,z_u,w_u) $$ $$ g_v = (x_v,y_v,z_v,w_v) $$

Ahora son sólo vectores de 4 dimensiones. El elemento del área seguirá siendo la raíz cuadrada del determinante de la matriz $G$ arriba.

Para explicar por qué funciona este enfoque es necesario conocer algo de geometría diferencial, incluyendo la teoría de las formas diferenciales y las métricas de Riemann, así que lo dejaré así.