Una estructura de Hodge mixta (mHs) en un álgebra diferencial conmutativa graduada (cgda) sobre $\mathbf{Q}$ es una estructura de Hodge mixta en el espacio vectorial subyacente tal que el producto y el diferencial son mapas de estructuras de Hodge mixtas. Si un cdga está dotado de una mHs, entonces también lo está su cohomología. Ahora dejemos que $A$ sea, por ejemplo, el álgebra de co-cadenas de polinomios a trozos de una variedad algebraica compleja $X$ y que $M$ sea el modelo mínimo de $A$ . ¿Existe una estructura mixta de Hodge en $M$ que sería functorial en algún sentido y tal que el cuasi-isomorfismo de comparación $M\to A$ induce un mapa de estructuras mixtas de Hodge? He aquí una conjetura sobre cuál debería ser el "sentido adecuado", inspirada en el caso de que tengamos sólo la filtración de pesos. Dado un morfismo $X\to Y$ de dos variedades y dado un modelo mínimo $M_X\to A_{PL}(X), M_Y\to A_{PL}(Y)$ para cada variedad, existe un mapa de los modelos mínimos, único hasta una homotopía que preserva ambas filtraciones y tal que el diagrama obvio conmuta hasta la homotopía. (Esto implicaría la unicidad de los mH en el modelo mínimo).
He aquí una cuestión relacionada (¿y quizás equivalente?): debido a Kadeishvili, la cohomología $H^\ast$ de cualquier cdga lleva un $A_{\infty}$ estructura, y de hecho, un $C_{\infty}$ estructura. Véase, por ejemplo, Keller, Introduction to $A_\infty$ álgebras y módulos, teorema de la p. 7. Si ahora $H^\ast$ es la cohomología de una variedad algebraica compleja, se pueden elegir los mapas de estructura $(H^\ast)^{\otimes n}\to H^*$ sean morfismos de estructuras mixtas de Hodge? Una vez más, esto debería ser functorial en un sentido apropiado.
He aquí algunas observaciones:
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Si se consideran únicamente las filtraciones de peso, ocurren dos cosas. En primer lugar, hay que modificar ligeramente la definición anterior: una filtración de peso sobre una cdga es una filtración tal que la diferencial y el producto son estrictamente compatibles con ella (esto es automático en el caso mixto de Hodge). En segundo lugar, la respuesta a la pregunta similar es afirmativa: a saber, existe una filtración de peso sobre el modelo mínimo de una variedad algebraica, que induce la filtración de peso ``correcta'' en cohomología y la propiedad de funtorialidad puede enunciarse como sigue: un mapa de variedades algebraicas da un mapa de modelos mínimos filtrados, único hasta la homotopía que preserva la filtración. Esto se debe esencialmente a J. Morgan, The algebraic topology of smooth algebraic varieties, Publ. IHES 48, 1978 y Navarro-Aznar, Sur la th\'eorie de Hodge-Deligne, Inv. Math. 90, 1987.
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En el documento mencionado anteriormente, Navarro-Aznar afirma (7.7, p.38) que la respuesta a la pregunta de esta publicación también es positiva. Sin embargo, no da una prueba, sino que remite al lector a Morgan (ibid) y a
`la deuxi\eme partie de cet article''. No me queda claro cómo deducir la afirmación (si es que es cierta) de ninguna de estas fuentes. -
Dejemos que $X$ sea una curva completa suave y que $K$ sea un subconjunto finito con $\geq 2$ elementos. Entonces, según Morgan, un modelo filtrado de $X-K$ es el $E_2$ -de la secuencia espectral de Leray de la incrustación $X-K\subset X$ , equipado con la filtración Leray. En efecto, esto determina la cohomología de $X-K$ como un álgebra filtrada. Pero el $E_2$ -término visto como una estructura mixta de Hodge no determina $H^\ast(X-K,\mathbf{Q})$ como una estructura mixta de Hodge ya que no depende de $K$ y $H^\ast(X-K,\mathbf{Q})$ lo hace.
