¿Existe una generalización de la "espiral del girasol" a dimensiones superiores?

Question

Hay un patrón bien conocido que aparece en la naturaleza que implica la proporción áurea $\phi = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$ .

     (fuente)

Para obtener este patrón de "espiral de girasol", ponga el $k$ en un ángulo de $2\pi \phi k$ y un radio de $\sqrt{k}$ . El efecto que tiene esto es que cada nodo está bien separado de sus vecinos.

Hay un par de maneras diferentes de pensar en lo que hace esta espiral: es algo así como un algoritmo de empaquetamiento razonablemente bueno en 2 dimensiones que funciona para cualquier número de puntos que se empaquetan. Otra forma de pensar en ello, mirando la proyección del patrón en el círculo, es como una secuencia de medidas en el círculo, donde la adición de la $k$ th pone un punto de peso en su argumento. Esta secuencia de medidas en el círculo está casi uniformemente espaciada en cada paso de la secuencia.

La pregunta es: ¿Existe algo parecido a una espiral para 3 (o más) dimensiones?

Es decir (para 3 dimensiones), queremos poner una secuencia de nodos abajo en $\mathbb{R}^3$ para que el $k$ El nodo está en el radio $\sqrt[3]{k}$ desde el origen, y de manera que el patrón resultante esté razonablemente bien empaquetado, en cualquier sentido análogo a los anteriores que desee. ¿Existe una forma natural de generar una secuencia de este tipo en $S^2$ (¿tal vez mediante la iteración de una función relativamente sencilla?), como la que existe para la espiral del girasol en $S^1$ ?

Answer 1

Esto es sólo una especulación audaz: El patrón espiral que se ve surge de un homomorfismo de los enteros al círculo unitario, y la irracionalidad de $\phi$ le da una agradable aperiodicidad. En dimensiones superiores, no hay una estructura de grupo abeliano en las esferas, por lo que la generalización ingenua utilizando $d$ -familias de parámetros de enteros no funciona. Por otro lado, hay infinitos subgrupos discretos de grupos ortogonales cuyas órbitas tienen imagen densa en una esfera, por lo que se puede tomar la órbita de un punto bajo la acción, ordenando por algo así como la longitud de la palabra. Un ejemplo explícito de tal acción fiel de $F_2$ en $S^2$ se da en Entrada del blog de David Speyer utilizando las matrices $\begin{pmatrix} 3/5 & 4/5 & 0 \\ -4/5 & 3/5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3/5 & 4/5 \\ 0 & -4/5 & 3/5 \end{pmatrix}$ .

No tengo ni idea de cómo será la "espiral" resultante, ni de lo "bien empaquetada" que está.

Adenda: Si se eligen matrices ortogonales convenientemente aleatorias, se seguirá obteniendo una acción fiel de $F_2$ . Es posible que haya menos cuasicolisiones con un grupo "menos hiperbólico", pero no sé mucho sobre la geometría.

Answer 2

Especulación atrevida de nuevo, pero supongo que la respuesta para $\mathbb{R}^3$ es "no". Heurísticamente, a medida que aumenta la r, quieres que todas tus esferas se "muevan un poco" para que puedan "encajar en los huecos entre las esferas anteriores". Para que esto ocurra de forma natural, tienes que proyectar hacia abajo un campo vectorial continuo que no se desvanezca en ninguna parte en $S^2$ , lo que no va a suceder.

Quizás $\mathbb{R}^4=\mathbb{C}^2$ proporcionará más suerte: algo parecido al haz de hopf, dejando caer 2 esferas de puntos hacia abajo en un ángulo de $2\pi\phi k$ (en el marco de la $S^1$ acción) en un radio de $^4\sqrt{k}$ ? ¿Quizás?

Answer 3

Así que, generalizando el sentido de "espiral" en el que esto podría definirse (como en las casi-espirales radiales que irradian hacia fuera desde una región alrededor del centro, como la secuencia 3,11,19,40,61,82,103,124) ¿podríamos definir un análogo en 3d de esto como conchas casi concéntricas en forma de concha de mar que salen en espiral desde una región?

En otras palabras, ¿existe un empaquetamiento formado por conchas marinas que satisfaga las propiedades que queramos en términos de distribuciones de enteros puestas en cada "hoja" de las conchas marinas?

Si lo que estábamos considerando inicialmente era una espiral real, por ejemplo, $r(\theta)=\theta$ Yo diría algo así como el mapa en coordenadas esféricas $r(\theta,\phi) = \phi$

que es una "hoja" bidimensional que generaliza la espiral de antes, que presumiblemente se podría embaldosar de forma similar a la espiral original? ¿O embalar con condiciones de empaquetamiento?

Entonces, ¿podríamos ver una definición en términos de empaquetamiento, y definir una espiral similar en términos de "hojas" de conchas que son "casi" como $r(\theta,\phi) = \phi$ Dado que nuestra espiral inicial era "casi" como $r(\theta) = \theta$ ?

Esto parece más acorde con una buena generalización de la naturaleza "espiral" de este problema, a diferencia de pensar o poner puntos en esferas concéntricas. Pero no veo una manera obvia de definir esto de una manera natural que automáticamente hace que las conchas de mar "casi" conchas de la misma manera que la espiral hace esto, ni una "natural" que tiene la $r=k^{1/3}$ la dependencia que quieras. Es de suponer que las condiciones naturales serían más obvias si las propiedades "buenas" de la espiral que se quiere mantener estuvieran más claramente expuestas. Parece que la 3d no está lo suficientemente restringida por la definición en términos de sólo radios y ángulos para llegar a una solución única "obviamente correcta".

Answer 4

Una posible forma de llenar R 3 es dividir R 3 en capas de cebolla, y utilizar algún tipo de "puntos de espiral generalizados" para rellenar cada capa de cebolla - algo así como enrollar una cuerda del polo N al polo S al polo N al polo S.

En cada capa, la espiral comienza en el polo norte y se desplaza en espiral, algo así como la "espiral del girasol", hasta cruzar el ecuador. El ecuador sur es (más o menos) idéntico al ecuador norte. Una vez que la trayectoria cruza el ecuador, se mueve en espiral en curvas más pequeñas y cerradas hasta llegar al polo sur. Toda la espiral es vagamente similar a Espirales esféricas de M.C. Escher . Esta espiral es una solución al problema de "colocar n puntos igualmente espaciados en una esfera" -- puede que no sea "la mejor manera de pixelar una esfera", puede que no sea la mejor solución al "problema de Thomson", pero no hay una "mejor manera de pixelar una esfera". Entonces, se desplaza una capa de cebolla y se empieza a recorrer una espiral de sur a norte.

En otra dirección: p esferas utilizadas para formar los poliedros de Waterman ? Eso da un conjunto de puntos (centros de la esfera) mucho más regular y cercano -- pero no es obvio para mí si hay alguna fórmula agradable para convertir de número de esfera a coordenadas xyz.

Answer 5

Piensa en el girasol como una serie de casi triángulos de tamaño creciente centrados en el punto central, con números enteros en cada uno de sus puntos.

Es un par de pasos más complicado, pero intenta empezar con una disposición tetraédrica alrededor del punto inicial. Esta disposición tiene cuatro huecos naturales, en los que pueden entrar del 5 al 8. Estoy seguro de que hay alguna forma racional, a partir de aquí, de que se puedan juntar casi tetraedros consecutivamente más grandes alrededor del punto central. Puede que no tenga algunas de las propiedades más interesantes de la secuencia del girasol, y es posible que tenga elementos arbitrarios (o simplemente erróneos), pero tiene la ventaja de ser escalable a n dimensiones (si es que funciona).