Cocientes automórficos para formas internas o $GSp(4)$

Question

Para un álgebra de cuaterniones $D$ , introduce los grupos unitarios de similitud cuaternaria: \begin{equation} \mathrm{GU}_D = \left\{ g \in \mathrm{GL}(D) \ : \ g^\star \left( \begin{array}{cc} & 1 \\ 1 & \end{array} \N - derecho) g = \mu(g) \a la izquierda( \begin{array}{cc} & 1 \\ 1 & \end{array} \ right), \mu(g) \in \mathbf{G}_m \derecha} \fin{de}

El $\mathrm{GU}_D $ son las formas internas de $\mathrm{GSp(4)}$ cuando $D$ describe las álgebras de cuaterniones. Para casi todos los lugares $v$ de $F$ más precisamente los divididos, este grupo es $G_v \simeq \mathrm{GSp(4,F_v)}$ .

¿Cuándo son esos $\mathrm{GU}_D$ de cociente automórfico compacto?

Creo que asumiendo $D$ ser totalmente definida en el infinito (es decir, ramificada en lugares arquimédicos) es suficiente, pero ¿es necesario?

Answer 1

Permítanme darles las formas internas de $\mathrm{GSp}(4)$ con cociente compacto de adelanto.

Toda forma interna no dividida de $\mathrm{GSp}(4)$ se obtiene de la siguiente manera: tomar $D$ un álgebra de cuaterniones de división sobre $F$ , dejemos que $V$ ser un $D$ -Espacio hermitiano de $D$ -dimensión $2$ y construir $G = \mathrm{GU}(V)$ .

Por un teorema de Borel y Harish-Chandra, el cociente adelico de $G$ es compacto si y sólo si $G$ modulo su centro es anisotrópico (en el sentido de grupo algebraico: no contiene ningún toro dividido no trivial).

Esto resulta ser equivalente a $V$ siendo anisotrópica (en el sentido de la forma cuadrática/hermitiana: no tiene ningún vector isotrópico no nulo). Sobre un campo numérico, por el principio local-global para las formas cuadráticas podemos probar la anisotropía localmente: sobre $p$ -lugares de la vida cotidiana, $V$ tiene $8$ variables como una forma cuadrática y por lo tanto es isotrópica, y sobre lugares reales, $V$ es anisotrópica si y sólo si es definida positiva o definida negativa.

En resumen, $G = \mathrm{GU}(V)$ tiene un cociente adelico compacto si y sólo si $F$ admite un lugar real en el que $D$ es definitivo y $V$ es positiva definida o negativa definida.

Por ejemplo, el $D$ -Forma hermitiana $x\bar{x}+y\bar{y}$ funciona sobre un álgebra de cuaterniones totalmente definida, pero la que escribiste es $x\bar{y}+y\bar{x}$ .

Answer 2

Tal como se escribe, este grupo siempre tiene un subgrupo parabólico no trivial (el subgrupo Siegel, dado por la intersección de $GU_D$ con matrices triangulares superiores en $GL_2(D)$ ); y por tanto su espacio simétrico no puede ser compacto.