¿Tiene todo grupo finitamente presentable una presentación que minimice simultáneamente el número de generadores y el número de relatores?

Question

Esta debería ser una pregunta fácil, pero no sé cómo responderla: Supongamos que G es un finito generado grupo presentable. Supongamos que a es el mínimo absoluto de los tamaños de todos los conjuntos generadores de G y b es el mínimo absoluto del número de relaciones sobre todas las presentaciones de G . Pregunta: ¿Es necesario que G tiene una presentación que simultáneamente tiene a generadores y b ¿relaciones?

El caso b = 0 es simplemente el hecho de que un grupo libre no puede ser generado por menos elementos que su rango libre.

El problema podría interpretarse probablemente en términos de complejos CW (donde los generadores dan lugar a 1-células y los relatores dan lugar a 2-células) pero, debido a mi falta de familiaridad con los complejos CW, no veo inmediatamente cómo utilizarlos para resolver el problema.

También parece estar relacionado con la noción de "deficiencia" de un grupo, que es la (máxima posible sobre todas las presentaciones) diferencia #generadores - #relaciones (bajo la convención de signo contrario, la mínima diferencia posible #relaciones - #generadores).

Answer 1

Una pregunta más fuerte, es la deficiencia de $G$ realizado para una presentación con el mínimo número de generadores (rank( $G$ ))? Esta pregunta se formula en un papel de Rapaport y se ha demostrado que es cierto para los grupos nilpotentes y de un solo relator.

Adenda:

La pregunta aparece como Pregunta 2, p. 2, de un libro de Gruenberg . Lubotzky ha respondido afirmativamente a la pregunta análoga en la categoría de grupos profinitos grupos profinitos ( Corolario 2.5 ). (Nótese, sin embargo, que esto está en la categoría de presentaciones profinitas, por lo que no implica una respuesta afirmativa incluso para grupos finitos).

Answer 2

Esto no es una respuesta, sino simplemente una observación de que no puede haber ningún procedimiento computable para transformar cualquier presentación finita dada en una presentación que sea óptima en su sentido. La razón es que el problema de determinar si un grupo presentado finitamente es no trivial no es decidible computacionalmente, pero sí lo es a partir de cualquier presentación óptima, ya que el grupo trivial y sólo el grupo trivial tiene a=b=0.

Así que una respuesta afirmativa no puede proceder modificando la presentación dada de alguna manera computable.