¿Qué sería de Gauss hacer en este caso: la adición de $1+\frac12+\frac13+\frac14+ \dots +\frac1{100}$?

Question

Todos sabemos que la historia relativa a Gauss que Gauss clase se pide hallar la suma de los números de $1$ $100$como un "trabajo ocupado del problema" y él vino con $5050$ en menos de un minuto. Él utiliza un sencillo truco $50\times 101=5050$ no.

Ahora lo que si en algún universo paralelo, su maestro sabía de Gauss figura que rápidamente y pidió a la clase para calcular el $$1+\frac12+\frac13+\frac14+ \dots +\frac1{100}$$ en su lugar, y se asegura una buena siesta.

Es allí cualquier manera de Gauss todavía podría impresionar al mundo en el que el universo mediante el cálculo de precisión hasta, digamos, dos puntos decimales usando algún truco (si es que sabe de matemáticas avanzadas, aunque todavía en la clase junior). Yo no veo ninguna forma más rápida para encontrar esta suma y tenía que usar wolfram alpha que da $\frac{14466636279520351160221518043104131447711}{2788815009188499086581352357412492142272} \approx 5.1873$.

¿Cuál es el mejor método o truco para llegar a alrededor de $5.1$ $5$ rápido que cualquier otro alumno de su clase, y de impresionar al mundo?

Podemos hacer G. P como $(1+\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+\frac1{32}+\frac1{64})+(\frac13+\frac19+\frac1{27}+\frac1{81})$, pero todavía nos deja demasiados términos de la G. P. y se tienen que encontrar por separado por división.

Answer 1

Euler identidad sería más fácil: $$H_n \approx \ln n + \gamma$$ Entonces (suponiendo que no hay calculadoras) que le recuerde que $\ln 10 \approx 2.3$, por lo que el $\ln 100 \approx 4.6$, al pasar que: $$H_{100} \approx 4.6+ 0.577 \approx 5.18$$

Ahora, uno puede argumentar que este es un poco tramposo, ya que, $\gamma$ es definido por la diferencia entre el$H_n$$\ln n$. Lo que uno podría hacer es calcular el $\gamma$ sabiendo que la mayoría de la contribución proviene de los primeros miembros de la serie, ya que la diferencia entre la suma y la integral se convierte en más pequeñas, como la derivada se hace más pequeño. Esto es algo que los mayores de Gauss podría potencialmente resolver sin necesidad de Euler del trabajo.

Tomemos $n=10$ por ejemplo: $$\gamma \approx H_{10} - \ln 10$$ Por lo que obtenemos: $$H_{100} \approx \ln 10 + H_{10}\approx 2.3 + 2.9 = 5.2$$ Que está muy cerca, teniendo en cuenta todo lo que tenía que hacer era resumir la primera $10$ números, que sólo implica una sola división larga!

Answer 2

Euler inventó algunos de aceleración de la convergencia de los métodos. Probablemente como un adulto, aunque.

https://en.wikipedia.org/wiki/Series_acceleration