¿Cuál es la situación de la funtorialidad en 2009?

Question

Robert Langlands es famoso en la teoría de números por hacer conjeturas famosas y profundas sobre cosas muy abstractas llamadas formas automórficas En algún momento de los años 60.

Hay un artículo muy interesante de Langlands llamado En qué punto se encuentra la funtorialidad hoy en día que describe la evolución del tema desde el punto de vista de Langlands a partir de la década de 1990.

Pero si alguien escribiera un resumen del estado actual de la functorialidad de Langlands, ¿qué diría?

Answer 1

El trabajo de Ngo debe permitir el tratamiento de todos los endoscópico casos de funtorialidad; se trata de una especie de condición técnica, pero incluye la transferencia de grupos clásicos a GL(n) y el cambio de base para grupos unitarios. Anteriormente se conocía el cambio de base cíclico para GL(n) (por Arthur y Clozel), así como algunos casos aislados muy interesantes como el cuadrado simétrico, la tercera y la cuarta potencia de GL2 (debidos a Gelbart-Jacquet, Kim-Shahidi y Kim, respectivamente) y los productos tensoriales de GL2 x GL2 (Ramakrishnan) y GL2 x GL3 (Kim-Shahidi). Todos estos resultados son herramientas fundamentales en la teoría numérica moderna.

Las conjeturas generales de Langlands siguen abiertas. He oído a un destacado experto en la fórmula de la traza comentar que "las enésimas potencias simétricas de GL2 deberían ser tan difíciles como la conjetura general", lo cual puede interpretarse como se quiera. Langlands tiene una idea a la que se refiere como "Más allá de la endoscopia", sin embargo parece muy difícil de poner en marcha y los únicos casos en los que se ha trabajado son endoscópicos y ya se conocían.

Answer 2

Me sorprende que nadie haya mencionado a James Cogdell en sus respuestas. En cualquier caso, Cogdell es un experto en functorialidad, y ha escrito muchos artículos y dado muchas charlas sobre el tema, y sobre "dónde se encuentra hoy".

A continuación, una serie de conferencias que pronunció el año pasado:

http://www.math.osu.edu/~cogdell/cimpa-www.pdf

He aquí un artículo suyo (con Piatetski-Shapiro, Shahidi) sobre la functorialidad para los grupos clásicos cuasipartidos:

http://www.math.osu.edu/~cogdell/lift3-www.pdf

Y aquí hay algunas notas de una charla de coloquio sobre las funciones L y la functorialidad :

http://www.math.osu.edu/~cogdell/lff-www.ps

También hay una buena exposición sobre la functorialidad (escrita por Cogdell) en el libro "An Introduction to the Langlands program", que es un libro publicado en 2003.

Answer 3

Quizás la mejor respuesta a la pregunta "¿Dónde está la functorialidad hoy en día?" la da el propio Langlands en su reseña informal de dos conferencias recientes (marzo de 2011) impartidas en la IAS, disponible aquí:

http://publications.ias.edu/sites/default/files/functoriality.pdf

Answer 4

Ngo Bao Chau ha demostrado recientemente el llamado "lema fundamental" (¡es muy probable que reciba la medalla Fields por su trabajo!) y esto tendrá muchas aplicaciones dramáticas para el programa de Langlands, aunque la conjetura de funtorialidad completa de Langlands aún está lejos de ser demostrada (pero no soy un experto). James Arthur dio una charla en la UBC sobre las aplicaciones del FL al programa de Langlands, pero no he podido encontrar un informe de la charla.