Escribir una función en términos de su serie de potencias con algunos pasos complicados de reindexación

Question

Representa la siguiente función como una serie de potencias y encuentra su radio de convergencia:

$$\frac{x^2}{(8+x)^3}$$

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Por ¡¡Utilizando la diferenciación para encontrar la serie de potencias de una función bastante complicada!! Sabemos que

$\frac{1}{(8+x)^3} = \frac{1}{2} (\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+2} (n+2)(n+1) x^n (\frac{1}{8})^{n+3})$

Por lo tanto, tenemos:

$\frac{x^2}{(8+x)^3} = x^2 (\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+2} (n+2)(n+1) x^n (\frac{1}{8})^{n+3})$

Multiplicando el $x^2$ a través de los rendimientos

$= \frac{1}{2} (\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+2} (n+2)(n+1) x^{n+2} (\frac{1}{8})^{n+3})$

Pero no podemos hacer que una serie de potencias se exprese en términos de $x^{n+2}$ . Tiene que ser en términos de $x^n$ . Así que restamos a $2$ de todas partes un $n$ aparece en nuestra expreso y hacer que la suma comience en $n=2$

$= \frac{1}{2} (\sum_{n=2}^\infty (-1)^{n} (n)(n-1) x^{n} (\frac{1}{8})^{n+1})$

Answer 1

Sí, es correcto. Ya que para $n=0$ y $n=1$ los términos se desvanecen, si quieres empezar en $n=0$ podemos escribir $$\frac{x^2}{(x+3)^3}= \frac{1}{2} \sum_{n=2}^\infty (-1)^{n} (n)(n-1) x^{n} (\frac{1}{8})^{n+1}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(n)(n-1)x^n(\frac{1}{8})^{n+1}$$