Debe ser inferior a $B_6$ (donde $B_6$ es el número de Bell de $6$ ) ya que los elementos están "duplicados". Lo que más agradecería sería una función generadora que diera el número de particiones de conjuntos de $\{1,1,2,2, ...n,n\}$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Utilizando la pista dada en la entrada de la OEIS podemos escribir un que permita calcular la secuencia en cuestión incluso para grandes valores de $n$ por ejemplo este segmento:
$$2, 9, 66, 712, 10457, 198091, 4659138, 132315780, 4441561814, \\ 173290498279, 7751828612725,393110572846777, 22385579339430539, \\ 1419799938299929267, 99593312799819072788, \ldots $$
La pista mencionada anteriormente dice que podemos contar de forma equivalente multigrafos con $n$ aristas etiquetadas donde los vértices del gráfico representan los conjuntos múltiples de la partición de conjuntos múltiples y están conectados por una arista $k$ si las dos instancias del valor $k$ se incluyen en el conjuntos representados por los dos vértices que constituyen la arista.
Suponiendo que tenemos el índice de ciclo $Z(G_n)$ de la acción sobre el bordes del grupo simétrico que permuta el $n$ vértices de un gráfico donde se permiten los bucles, el valor deseado viene dado por ( $2n$ es el número máximo de vértices que podemos cubrir con el $n$ bordes etiquetados y éstas son multi-bordes por lo que pueden ser etiquetadas con cualquier subconjunto de el $n$ etiquetas)
$$[B_1 B_2 \cdots B_n] Z(G_{2n}) \left(\prod_{q=1}^n (1+B_q)\right).$$
Pero este índice de ciclo es fácil de calcular, siendo el cálculo documentado en este Enlace MSE .
Obsérvese que aquí tenemos un caso especial que admite radicales simplificación radical. Supongamos que tenemos un término $\alpha\in Z(G_{2n})$ que tiene la forma $$p(\alpha) \prod_k a_k^{j_k(\alpha)}$$
con $p(\alpha)$ siendo el coeficiente principal (un número) y $j_k(\alpha)$ el grado de $a_k$ en $\alpha.$
Ahora tenemos que cualquier posible factor $a_k$ donde $k\gt 1$ sólo contribuyen a través del término constante porque estamos extrayendo el producto $B_1 B_2\cdots B_n.$ Esto deja $$p(\alpha) a_1^{j_1(\alpha)}.$$
Por último, observe que $$[B_1 B_2\cdots B_n] \left(\prod_{q=1}^n (1+B_q)\right)^{j_1(\alpha)} \\ = [B_1 B_2\cdots B_n] \prod_{q=1}^n (1+B_q)^{j_1(\alpha)} = \prod_{q=1}^n {j_1(\alpha)\choose 1} = j_1(\alpha)^n.$$
El efecto clave aquí es que hemos eliminado las costosas exponencias de los polinomios multivariados y sólo trabajamos con números, calculando este valor: $$\sum_{\alpha\in Z(G_{2n})} p(\alpha) j_1(\alpha)^n.$$
Este es el código:
pet\_cycleind\_symm :=
proc(n)
local p, s;
option remember;
if n=0 then return 1; fi;
expand(1/n\*add(a\[l\]\*pet\_cycleind\_symm(n-l), l=1..n));
end;
pet\_flatten\_term :=
proc(varp)
local terml, d, cf, v;
terml := \[\];
cf := varp;
for v in indets(varp) do
d := degree(varp, v);
terml := \[op(terml), seq(v, k=1..d)\];
cf := cf/v^d;
od;
\[cf, terml\];
end;
pet\_cycleind\_edg :=
proc(n)
option remember;
local s, t, res, cycs, l1, l2, flat, u, v;
if n=0 then return 1; fi;
s := 0:
for t in pet\_cycleind\_symm(n) do
flat := pet\_flatten\_term(t);
cycs := flat\[2\]; res := 1;
for u to nops(cycs) do
for v from u+1 to nops(cycs) do
l1 := op(1, cycs\[u\]); l2 := op(1, cycs\[v\]);
res := res \* a\[lcm(l1, l2)\]^(l1\*l2/lcm(l1, l2));
od;
od;
for u to nops(cycs) do
l1 := op(1, cycs\[u\]);
if type(l1, odd) then
# a\[l1\]^(1/2\*l1\*(l1-1)/l1);
res := res\*a\[l1\]^(1/2\*(l1-1));
else
# a\[l1/2\]^(l1/2/(l1/2))\*a\[l1\]^(1/2\*l1\*(l1-2)/l1)
res := res\*a\[l1/2\]\*a\[l1\]^(1/2\*(l1-2));
fi;
od;
s := s + res\*t;
od;
s;
end;
Q :=
proc(n)
option remember;
local res, flat, term;
res := 0;
for term in pet\_cycleind\_edg(2\*n) do
flat := pet\_flatten\_term(term);
res := res + flat\[1\]\*degree(term, a\[1\])^n;
od;
res;
end;