El enfoque de Grothendieck de la geometría algebraica en particular nos dice que tratemos todos los anillos como anillos de funciones sobre algún tipo de espacio. Esto también puede aplicarse fuera de la teoría de esquemas (por ejemplo, el teorema de Gelfand-Neumark dice que la categoría de espacios medibles es contravariantemente equivalente a la categoría de álgebras conmutativas de von Neumann). Aunque no tenemos una descripción geométrica completa para el caso no conmutativo, podemos utilizar eficazmente la intuición geométrica del caso conmutativo.
Una generalización de esta idea viene dada por el punto de vista relativo de Grothendieck, que dice que un morfismo de anillos f: A B debe considerarse geométricamente como un haz de espacios con el espacio total Spec B fibrado sobre el espacio base Spec A y todas las nociones definidas para los espacios individuales deben generalizarse a dichos haces fibrilados. Por ejemplo, para las álgebras de von Neumann tenemos pesos valorados por operadores, espacios L^p relativos, etc., que generalizan las nociones habituales de peso, espacio L^p no conmutativo, etc.
En la geometría no conmutativa este punto de vista se generaliza a los bimódulos. Un morfismo f: A B puede interpretarse como un bimódulo A-B B, con la acción derecha de B dada por la multiplicación y la acción izquierda de A dada por f. Geométricamente, un bimódulo A-B es como un haz vectorial sobre el producto de Spec A y Spec B. Si un bimódulo procede de un morfismo f, entonces se parece a un haz de líneas trivial cuyo soporte es igual a la gráfica de f. En particular, el morfismo de identidad corresponde al haz de líneas trivial sobre la diagonal.
Para el caso de las álgebras conmutativas de von Neumann todo lo anterior puede hacerse totalmente riguroso utilizando una categoría monoidal apropiada de álgebras de von Neumann.
Este punto de vista bimodular es extremadamente fructífero en la geometría no conmutativa (pensemos en el índice de Jones, las correspondencias de Connes, etc.)
Sin embargo, nunca he visto bimódulos en otras ramas de la geometría (teoría de esquemas, variedades suaves, variedades holomorfas, topología, etc.) en la misma medida en que se utilizan en la geometría no conmutativa.
¿Puede alguien enunciar algunos teoremas (o teorías) interesantes que impliquen a los bimódulos en un entorno de este tipo? ¿O simplemente dar algunas referencias a artículos interesantes? O si las frases anteriores se refieren al conjunto vacío, ¿proporcionar una explicación de este hecho?
