Bimódulos en geometría

Question

El enfoque de Grothendieck de la geometría algebraica en particular nos dice que tratemos todos los anillos como anillos de funciones sobre algún tipo de espacio. Esto también puede aplicarse fuera de la teoría de esquemas (por ejemplo, el teorema de Gelfand-Neumark dice que la categoría de espacios medibles es contravariantemente equivalente a la categoría de álgebras conmutativas de von Neumann). Aunque no tenemos una descripción geométrica completa para el caso no conmutativo, podemos utilizar eficazmente la intuición geométrica del caso conmutativo.

Una generalización de esta idea viene dada por el punto de vista relativo de Grothendieck, que dice que un morfismo de anillos f: A B debe considerarse geométricamente como un haz de espacios con el espacio total Spec B fibrado sobre el espacio base Spec A y todas las nociones definidas para los espacios individuales deben generalizarse a dichos haces fibrilados. Por ejemplo, para las álgebras de von Neumann tenemos pesos valorados por operadores, espacios L^p relativos, etc., que generalizan las nociones habituales de peso, espacio L^p no conmutativo, etc.

En la geometría no conmutativa este punto de vista se generaliza a los bimódulos. Un morfismo f: A B puede interpretarse como un bimódulo A-B B, con la acción derecha de B dada por la multiplicación y la acción izquierda de A dada por f. Geométricamente, un bimódulo A-B es como un haz vectorial sobre el producto de Spec A y Spec B. Si un bimódulo procede de un morfismo f, entonces se parece a un haz de líneas trivial cuyo soporte es igual a la gráfica de f. En particular, el morfismo de identidad corresponde al haz de líneas trivial sobre la diagonal.

Para el caso de las álgebras conmutativas de von Neumann todo lo anterior puede hacerse totalmente riguroso utilizando una categoría monoidal apropiada de álgebras de von Neumann.

Este punto de vista bimodular es extremadamente fructífero en la geometría no conmutativa (pensemos en el índice de Jones, las correspondencias de Connes, etc.)

Sin embargo, nunca he visto bimódulos en otras ramas de la geometría (teoría de esquemas, variedades suaves, variedades holomorfas, topología, etc.) en la misma medida en que se utilizan en la geometría no conmutativa.

¿Puede alguien enunciar algunos teoremas (o teorías) interesantes que impliquen a los bimódulos en un entorno de este tipo? ¿O simplemente dar algunas referencias a artículos interesantes? O si las frases anteriores se refieren al conjunto vacío, ¿proporcionar una explicación de este hecho?

Answer 1

En la "geometría conmutativa", creo que los bimódulos tienden a quedar un poco ocultos. La gente suele hablar de "correspondencias", que son la versión espacial de los bimódulos: Una correspondencia entre los espacios X e Y es un espacio Z con mapas a X e Y.

Cuando se piensa en este lenguaje, hay muchos ejemplos que se pierden. Por ejemplo, la noción correcta de un morfismo entre dos variedades simplécticas es una subvariedad lagrangiana de su producto, o incluso un mapa de la variedad a su producto con imagen lagrangiana (tal vez no incrustada). Véase, por ejemplo, la obra de Wehrheim y Woodward Funtorialidad de las correspondencias lagrangianas en la homología de Floer .

Del mismo modo, las correspondencias son increíblemente importantes en la teoría de la representación geométrica. Véase, por ejemplo, el trabajo de Nakajima sobre las variedades de carcaj.

La teoría de las pilas también se basa, al menos parcialmente, en tomar en serio las correspondencias como objetos y, en particular, en poder cotizar por cualquier correspondencia (plana).

Esta misma filosofía también subyace en groupoidificación tal y como lo estudia la escuela de Báez (ellos suelen utilizar la palabra "span" en lugar de "correspondencia", pero es lo mismo).

Answer 2

El Transformación de Fourier-Mukai proviene de un bimódulo: el haz de Poincaré. Sea $A$ sea una variedad abeliana, el haz de Poincaré $\mathcal{P}$ es un haz vectorial en $A \times \hat{A}$ que proviene del hecho de que los puntos de la variedad abeliana dual $\hat{A}$ parametrizar los haces de líneas en $A$ ( $\mathcal{P}$ es la familia universal). En la construcción Fourier-Mukai, $\mathcal{P}$ se utiliza como $\mathcal{O}_A$ - $\mathcal{O}_{\hat{A}}$ -para producir un functor entre las categorías derivadas de las láminas coherentes en $A$ y $\hat{A}$ mediante una construcción push-pull.

Answer 3

He aquí un teorema de la geometría algebraica derivada: si A y B son A _∞ (pensemos en las álgebras asociativas), entonces dar un bimódulo A-B es lo mismo que dar un functor de {módulos A derechos} a {módulos B derechos} que preserva los colímites (equivalentemente, tiene un adjunto derecho). La correspondencia envía _A M _B al functor - ⊗ _{A A} M _B . Bajo esta correspondencia, el producto tensorial de bimódulos sobre el álgebra media se realiza por composición de funtores.

Answer 4

El papel

Adam Nyman. The Eilenberg-Watts theorem over schemes, disponible en arXiv

estudia la conexión entre los funtores cocontinuos $Qcoh(Y) \to Qcoh(X)$ que allí se llaman bimódulos, y $Qcoh(X \times Y)$ en detalle.

Answer 5

En un papel de 1985, Raeburn y J. Taylor describen cómo ver todos los elementos de H^2(X,Gm) (cohomología etale) como procedentes de álgebras de Azumaya no unitarias. La construcción se basa en la teoría de bimódulos para estas álgebras.