Existe una relación estrecha, aunque no perfecta, entre los módulos D algebraicos sobre C^n, las láminas construibles sobre C^n en la topología analítica y \ell -en un espacio vectorial de n dimensiones sobre un campo de característica p:
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La formación de la gavilla de soluciones no necesariamente algebraicas del sistema algebraico de ecuaciones diferenciales lleva una clase de módulos D (módulos D regulares holonómicos) a gavillas construibles, y en un entorno adecuadamente derivado esto es una equivalencia de categorías. Se trata de la correspondencia Riemann-Hilbert.
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De manera menos funcional, se puede tratar de encontrar un \ell -para su gavilla construible en un espacio afín, no sobre C sino sobre algo como los enteros p-ádicos (que se incrusta en C), y se reduce mod p.
Muchas cosas pueden salir mal, pero hay teoremas de comparación. Por ejemplo, hay una buena noción de "gajo constante sobre una subvariedad" en los tres escenarios, y tomar la cohomología de este gajo da una respuesta similar en los tres casos: este es el teorema de comparación entre de Rham, Betti y \ell -cohomología de los ádicos.
En las tres configuraciones existe una operación llamada transformada de Fourier. Un módulo D algebraico en C^n es un módulo sobre el álgebra de Weyl C[x,y,...,d/dx,d/dy,...], y su transformada de Fourier es el retroceso a lo largo del cambio de variables x --> -d/dx, d/dx --> x. En el entorno topológico se tiene la transformada de Fourier-Sato/Kashiwara-Schapira, cuyo objetivo son las láminas en el espacio vectorial real dual a C^n. Y en la característica p tenemos la transformada de Fourier-Deligne, que implica de alguna manera el mapa de Artin x^p - x.
Tanto para los módulos D como para los \ell -ádicos, no hay ninguna restricción sobre el tipo de gavilla que se puede transformar. Pero puede llevar un módulo D con singularidades regulares a uno sin singularidades regulares, o tomar un \ell -granada de ádicos sin ramificación salvaje a una con ramificación salvaje. En el entorno topológico, sólo se puede tomar la transformada de Fourier de las láminas que son constantes a lo largo de los rayos desde el origen (normalmente porque estas láminas son C^*-equivariantes), pero entonces la nueva cosa se comporta tan bien como la anterior.
Me gustaría entender mejor cómo se relacionan estas cosas, o qué puede fallar. Tal vez sólo tengan nombres engañosos -estoy bastante seguro de que la llamada transformada de Fourier-Mukai es una pista falsa, aquí. Pero he visto que se utilizan de la misma manera en la teoría de Springer: para construir representaciones de grupos de Weyl en la cohomología (Betti o \ell -adic) de las fibras de Springer. ¿Existen resultados de comparación entre las diferentes transformadas de Fourier?
PS La sugerencia de Ben es que debería haber teoremas de comparación muy fuertes si trabajamos con objetos C^* o G_m-equivariantes en todos los escenarios. Así que, en concreto, la correspondencia Riemann-Hilbert debería conmutar con la transformada de Fourier en módulos D holonómicos equivariantes de C^* y gavillas construibles. ¿Es éste un resultado conocido y referenciable?
