¿Cómo puedo calcular los puntos límite del conjunto $\{\sqrt{m}-\sqrt{n}\mid m,n\in \mathbb N\} $ ?
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La intuición dice que todo número real es un punto límite. Así que dado un número real $a$ queremos demostrar que hay enteros $m$ y $n$ tal que $\sqrt{m}-\sqrt{n}$ está cerca de $a$ . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $a\ge 0$ . Dado $\epsilon \gt 0$ Queremos producir $m$ y $n$ tal $|(\sqrt{m}-\sqrt{n})-a|\lt \epsilon$ .
Una idea es observar que $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}=\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$ . Por lo tanto, hay un número entero $d=d(\epsilon)$ tal que $0\lt \sqrt{d+1}-\sqrt{d} \lt \epsilon$ .
Ahora considere los números $k(\sqrt{d+1}-\sqrt{d})=\sqrt{k^2d+k^2}-\sqrt{k^2d}$ , ya que $k$ se extiende sobre los enteros positivos. Para cada $a\ge 0$ hay un número entero positivo $k$ tal que $k(\sqrt{d+1}-\sqrt{d})$ está a una distancia inferior a $\epsilon$ de $a$ .
Steve Kass
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Dejemos que $a$ sea un número real. Para demostrar que $a$ es un punto límite, basta con demostrar que para cualquier $N>0$ , algunos $\sqrt{m} - \sqrt{n}$ está dentro de $1\over N$ unidades de $a$ .
- Elija $m=M^2$ lo suficientemente grande como para que las diferencias consecutivas de la secuencia $M=\sqrt{m},\sqrt{m+1},\sqrt{m+2},\dots,\sqrt{m+2M+1}=M+1$ son todos menos de $1\over N$ . Este será el caso si la derivada de $\sqrt{x}$ en $x=m$ es menor que ${1\over N}$ o cuando $M>{\lceil{N\over2}\rceil}$ .
- Dejemos que $n=(M-\lfloor{a}\rfloor)^2$ . Entonces $\sqrt{m} - \sqrt{n}=\lfloor{a}\rfloor$ y $\sqrt{m+2M+1} - \sqrt{n}=\lfloor{a}\rfloor+1$
- Entonces $\sqrt{m+i} - \sqrt{n}$ debe estar dentro de $1\over N$ de $a$ para algunos $i$ .
sara martin
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La respuesta es $\mathbb{R}$ como podemos ver ici , para $x\in (0,\infty)$ y $\epsilon >0$ Hay $n_0 , N \in \mathbb{N}$ tal que $\sqrt{n_0 +1}-\sqrt{n_0} <1/N<\epsilon /2$ . Ahora podemos dividir $(0,\infty)$ a trozos de longitud $1/N$ , por lo que hay $k\in \mathbb{N}$ tal que $k(\sqrt{n_0 +1}-\sqrt{n_0})\in N_{\epsilon} (x)$ .
La prueba para $(-\infty , 0)$ es el mismo.
