Es que nadie hable sobre "bola de paquetes" de la métrica espacios?

Question

En geometría diferencial:

• Cada liso colector $M$ está equipada con una tangente bundle $TM,$ que es un colector equipado con una proyección de vuelta a $M$
• Dado un suave mapa de $f : M \rightarrow N$ entre suave colectores, obtenemos una correspondiente pushforward $f_* : TM \rightarrow TN.$ Además, la plaza que implican $f_*,f$ y las dos proyecciones se $TM \rightarrow M,TN \rightarrow N$ viajes.

Algo similar parece ocurrir en el estudio de la métrica de los espacios.

• Cada espacio métrico $X$ está equipada con una pelota bundle $BX$, definido como: $(\mathbb{R}_{\geq 0} \cup \{\infty\}) \times X.$ no estoy 100% seguro de cómo hacer esto en un espacio métrico en su propio derecho. De todos modos, tenemos una proyección de $\pi_X : BX \rightarrow X$$\pi_X(r,x) = x$.

• Dada una función de $f : X \rightarrow Y$ entre espacios métricos, obtenemos un pushforward $f_* : BX \rightarrow BY$ que funciona de la siguiente manera: podemos afirmar que el $(s,y)$ es igual a $f_*(r,x)$ si se cumplen dos condiciones. En primer lugar, $y = f(x).$, en Segundo lugar, $s$ es igual a la menor elemento de a $\mathbb{R}_{\geq 0} \cup \{\infty\}$ tal que cerró la bola de radio $s$ centrada en $y$ incluye la imagen en $f$ de la bola cerrada de radio $r$ centrada en $x$. No estoy seguro de si necesitamos cualquier tipo de condiciones en $f$ a asegurar que ese $s$ existe.

Así, mientras el pushforward en la geometría diferencial mide la dirigida sensibilidad de la función a un infinitesimal de cambio dirigido, el pushforward de una función entre espacios métricos (como se define más arriba), que mide el grafo de la sensibilidad a un grafo de error.

De todos modos, a mí me parece que estos de la bola de paquetes brindan una sensata de la fundación para el análisis numérico que estamos aprendiendo en clase en ese momento. Por ejemplo, esta construcción se generaliza y la mejora sobre la noción de intervalo de la aritmética.

Pregunta. Es que nadie hable sobre "bola de paquetes" de la métrica espacios? Si es así, ¿qué son llamados en la literatura, y donde puedo aprender acerca de ellos?

Answer 1

Bueno, esto es más que una colección de senderismo de ideas, pero es una manera de largo para un comentario, así que voy a tener a publicar como una respuesta. Para dar una respuesta corta, nunca he visto algo completamente como este, pero tengo algunas observaciones que se hagan, que con suerte puede ayudar.

Primero de todo pensando en una de sus notas, usted puede utilizar el Hausdorff-distancia a dar una métrica para su paquete (o más bien el conjunto de bolas de diferentes radios, que es el tipo de la misma). Una interpretación de esto parece estar más relacionado con su problema: Si $\Omega$ es un conjunto, si se definen $B_r(\Omega) := \{x\in X: d(x,\Omega)<r\}$, entonces la distancia de Hausdorff entre el $\Omega_1$ $\Omega_2$ es el más pequeño de $r$ tal que $\Omega_1 \subset B_r(\Omega_2)$$\Omega_2 \subset B_r(\Omega_2)$. Usted puede entrar en algún tipo de singularidad de los problemas, cuando dos bolas alrededor de diferentes puntos de la misma serie, pero por ejemplo, puede agregar la distancia entre los puntos de base a la métrica. Usted podría tratar de uso general, establece y considerar la posibilidad de su diámetro y de alguna manera de conectar esta idea similar a la idea de una base de la topología.

En segundo lugar, una cosa que tipo de me molesta es que su pushforward de bolas carece de una característica clave del vector-paquete de versión, ya que no es lineal. Usted podría hacer una versión linealizada definiendo el pushforward $f_*(r,x)= (s,f(y))$ donde $$ s= \lim_{h\to 0} \frac{\inf \{s>0: f(B_{rh}(x)) \subset B_s(f(x))\}}{h}.$$ Esto también se ajusta más al hecho de que el pushforward es una propiedad local y no debe ser influenciado por los puntos a gran distancia. Pero entonces, si su espacio métrico es bastante bueno, digamos que un colector, que acaba de terminar con el operador de la norma de la pushforward (o en el caso de los subconjuntos de a$R^n$$\|Df\|$ ) que ya se utiliza en el análisis numérico. Pero si no lineal, a continuación, su pushforward se convierte en prácticamente incalculable en comparación con el intervalo de-arithmetric, ya que usted tiene que hacer mucho más, a continuación, calcular los puntos extremos de los intervalos. Usted puede ser capaz de estimar algunos límites superiores, pero si tienes que hacerlo de todos modos, es probable que pueda utilizar esos límites explícitamente en lugar de ocultarlos en el formalismo.

Sin embargo, la idea todavía se ve divertido. Creo que hay un montón de ligeramente similar de las cosas que suceden en las profundidades de la teoría geométrica de la medida, pero por lo general hay uno está más interesado en la medida de conjuntos que en su diámetro.