¿Existe un grupo compacto de cardinalidad contablemente infinita?

Question

Disculpa la pregunta tan simple, pero no consigo encontrar una referencia ni en un sentido ni en otro, y hace tiempo que me está molestando.

¿Existe un grupo compacto (Hausdorff, o incluso T1) (topológico) que sea infinito, pero que tenga cardinalidad contable? Las opciones "obvias" no funcionan; por ejemplo, $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ (con la obvia topología inducida) no es compacto, y tengo la impresión de que los grupos profinitos son todos incontables (aunque puedo estar equivocado en esto). Entonces, ¿alguien tiene un ejemplo, o una referencia en el caso de que no existan tales grupos?

Answer 1

Dado un espacio compacto de Hausdorff sin puntos aislados, se puede construir fácilmente una incrustación del conjunto de Cantor en él: se toman dos puntos, se separan con conjuntos abiertos disjuntos de cierre, se repite iterativamente en el cierre de cada bola. Como empezamos con un grupo, es homogéneo, por lo que o bien no hay puntos aislados -y por tanto hay un conjunto de Cantor embebido de cardinalidad $2^\omega$ - o todos los puntos están aislados, lo que implica la finitud debido a la compacidad.

Answer 2

Es un hecho bien conocido (véase por ejemplo el artículo de Hodel en el Handbook of Set Theoretic Topology) que la cardinalidad de un espacio homogéneo compacto infinito es siempre una potencia de $2$ . Los grupos topológicos son homogéneos (como se señala en la respuesta de Yemon) y por tanto cualquier grupo compacto infinito tiene el tamaño del continuo o mayor.

Answer 3

Bueno, podrías tomar $\mathbb{Z}$ con la topología indiscreta, como dijo Kevin.

Si quieres que sea Hausdorff, entonces es profinite si está totalmente desconectado, por lo que sería incontable o finito en ese caso. Si no estuviera totalmente desconectado, sería incontable.