¿Existe un grupo compacto de cardinalidad contablemente infinita?

Question

Disculpa la pregunta tan simple, pero no consigo encontrar una referencia ni en un sentido ni en otro, y hace tiempo que me está molestando.

¿Existe un grupo compacto (Hausdorff, o incluso T1) (topológico) que sea infinito, pero que tenga cardinalidad contable? Las opciones "obvias" no funcionan; por ejemplo, $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ (con la obvia topología inducida) no es compacto, y tengo la impresión de que los grupos profinitos son todos incontables (aunque puedo estar equivocado en esto). Entonces, ¿alguien tiene un ejemplo, o una referencia en el caso de que no existan tales grupos?

Answer 1

No, no existe ningún grupo topológico Hausdorff compacto contablemente infinito.

De hecho, este grupo $G$ tendría una medida de Haar invariante a la izquierda $m$ con $m(G)=1$ y todos los puntos tendrían la misma medida (ya que el grupo actúa transitivamente sobre sí mismo). Pero entonces, por la aditividad contable de la medida $m$ el propio grupo tendría medida $m(G)=0$ o $m(G)=\infty$ según sus puntos todos tenían $m(p)=0$ o $m(p)>0$ . Una contradicción en ambos casos al hecho de que $m(G)=1$ .

Answer 2

Un argumento de la categoría Baire muestra que cualquier grupo Hausdorff contable y localmente compacto debe ser discreto. Por supuesto, para ser además compacto tendría que ser finito.

Con más detalle (pido disculpas si esto es conocido/desconocido): en cualquier espacio topológico de Hausdorff localmente compacto, la intersección de una colección contable de subconjuntos abiertos densos es densa - la prueba es básicamente la que se suele enseñar para los espacios métricos completos, no sé de antemano dónde encontrar el caso de LCH pero el libro de Kelley parece una primera conjetura obvia. A partir de esto se puede demostrar que cualquier espacio superior de Hausdorff localmente compacto debe contener un punto aislado (abierto y cerrado). [Como estamos en un grupo topológico, las traslaciones son homeomorfismos y por tanto cada punto está aislado, es decir, el espacio es discreto.

Answer 3

EDIT : Tanto los argumentos de Georges como los de Yemon son mejores ya que evitan la explicación de por qué el grupo tiene que ser metrizable.

No, no hay ningún grupo compacto contablemente infinito. La razón es que dicho grupo sería metrizable y, por tanto, un espacio polaco compacto sin puntos aislados. En cualquier espacio de este tipo se puede incrustar el conjunto de Cantor, que es incontable. Esto último no es difícil de demostrar, o se puede consultar Kechris, Classical Descriptive Set Theory, Theorem 6.2.

Answer 4

El componente de identidad de un grupo compacto de Hausdorff es un espacio de Hausdorff normal conectado, por lo que, por el lema de Urysohn, si tiene dos puntos es incontable. Por tanto, un grupo compacto de Hausdorff contable es totalmente desconectado. Pero entonces es un grupo profinito, y debe ser finito, ya que los grupos profinitos infinitos son incontables.

Answer 5

¿Qué tal un grupo contablemente infinito con topología trivial (los únicos conjuntos abiertos son el conjunto vacío y todo)?