¿La entropía topológica es finita?

Question

Dejemos que $f:X\rightarrow X$ sea una función continua sobre un espacio métrico compacto $X$ con la distancia $d$ . Para cada $n\in \mathbb{N}$ podemos introducir la distancia en $X$ , $d_n(x,y)=\max_{k=0,...,n-1}d(f^k(x),f^k(y))$ y luego definimos la entropía topológica de $f$ para ser $h(f)=\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\lim \sup_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\log N(n,\epsilon)$ , donde $N(n,\epsilon)$ es el menor número de bolas de radio $\epsilon$ necesario para cubrir $X$ . Ahora está claro que $N(n,\epsilon)$ es siempre finito ya que $X$ es compacto. También me parece lógico que la función $\epsilon\rightarrow \lim \sup_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\log N(n,\epsilon)$ es no creciente, lo que no entiendo es por qué esto nos da que la entropía topológica existe realmente, ¿no podría tener algo como $\lim \sup_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\log N(n,\epsilon)=\frac{1}{\epsilon}$ ? O podemos tener la entropía topológica para ser $\infty$ ?

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Permítanme dar una respuesta parcial por ahora. Tal vez pueda pensar en una respuesta completa pronto. (ver edición más abajo)

En realidad, no recuerdo que nadie haya afirmado que la entropía topológica sea siempre finita. Ciertamente está bien definida como un número en $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ ya que el límite en $\epsilon$ es monótona como has señalado, pero puede ser perfectamente infinita.

Por desgracia, ahora mismo no se me ocurre un ejemplo con entropía infinita, pero estoy bastante seguro de que debe haber uno. (ver edición más abajo)

En cambio, permítanme mencionar que hay algunas hipótesis que pueden garantizar la finitud de la entropía. Por ejemplo, basta con que su sistema sea continuo de Lipschitz y su espacio $X$ es algo agradable. Aquí, "agradable" en el sentido de que la "dimensión de la bola" $$ BD(X) = \limsup_{\epsilon \rightarrow} \frac{\log(N(1,\epsilon))}{|\log(\epsilon)|} $$ es finito. Si su espacio es, por ejemplo, un colector, entonces la dimensión de la bola es exactamente la dimensión del colector. Ahora, para un sistema dinámico Lipschitz con constante Lipschitz $L \geq 1$ tenemos $N(n,\epsilon) \leq N(1,\epsilon L^{-n})$ y, por lo tanto, $$ \frac{1}{n} \log(N(n,\epsilon)) \leq \underbrace{\frac{|\log(\epsilon L^{-n})|}{n}}_{\rightarrow \log(L)} \underbrace{\frac{\log(N(1,\epsilon L^{-n}))}{|\log(\epsilon L^{-n})|}}_{\rightarrow BD(X)} \xrightarrow{n \rightarrow \infty}{ \log(L) BD(X)}. $$ Así, la entropía está limitada por $\log(L)BD(X)$ .

Otra hipótesis posible es la expansividad positiva: si existe una constante $\delta > 0$ tal que $d_n(x,y) < \delta$ para todos $n \geq 0$ implica que $x=y$ , entonces la entropía es finita. No voy a dar los detalles, pero, dado $0 < \gamma < \epsilon < \delta/2$ la expansividad positiva produce la existencia de una constante $C(\gamma,\epsilon)$ tal que para todo $n \geq 0$ $$ N(n,2\gamma) \leq C(\gamma,\epsilon) N(n,\epsilon).$$ De ello se deduce que $\limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\log(N(n,\epsilon))$ es independiente de $\epsilon$ para $\epsilon < \delta/2$ y, por lo tanto, $h(f)$ es finito.

$\bf{EDIT:}$ El sistema dinámico en el círculo $S^1 \rightarrow S^1$ , $x \mapsto qx ~\mathrm{ mod }~ 1$ tiene entropía $\log(q)$ . Consideremos ahora el sistema dinámico $f \colon \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}$ en el disco unitario del plano complejo dado por $f(0) = 0$ y $$f(x) = x e^{2 \pi i/|x|} \qquad \text{for }x \ne 0.$$ Luego se restringe a cada círculo $\{|x| = r\}$ , $r \in (0,1]$ , se trata de una rotación con ángulo $1/r$ . Como la entropía de un sistema es mayor o igual que la entropía del sistema restringido a cualquier subconjunto invariante cerrado, concluimos que $h(f) \geq \log(1/r)$ para cualquier $r < 1$ es decir $h(f) = \infty$ .