Fracaso de la teoría del alisamiento para los 4 manifolds topológicos

Question

La teoría del alisamiento falla para los 4manifolds topológicos, en el sentido de que una estructura suave en un 4manifold topológico $M$ no es equivalente a una estructura de haz vectorial en el microhaz tangente de $M$ . ¿Existe un contraejemplo compacto explícito, es decir, hay dos 4manifolds lisos compactos que sean homeomorfos, que tengan haces tangentes isomorfos, pero que no sean difeomorfos? (Las incontables estructuras lisas en $\mathbb{R}^4$ debería dar un contraejemplo no compacto, ya que $Top(4)/O(4)$ no tiene un número incontable de componentes).

Adenda a la pregunta, añadida el 12/11/09:

También me interesa el otro tipo de contraejemplo, el de un 4manifold topológico no suavizable cuyo microbundle tangente sí admite una estructura de haz vectorial. ¿Alguien conoce un ejemplo así? La respuesta de Tim Perutz a mi primera pregunta, más abajo, dice que los 4manifolds lisos homeomorfos tienen haces tangentes isomorfos. Si no es cierto que todos los 4manifolds topológicos tienen refinamientos de haces vectoriales de su microbulbo tangente, ¿cuál es el obstáculo en la homotopía de $Top(4)/O(4)$ ?

Answer 1

Para un par de 4manifolds lisos, simplemente conectados, compactos y orientados $X$ y $Y$ ,

• Cualquier isomorfismo de los retículos de intersección $H^2(X)\to H^2(Y)$ proviene de una equivalencia de homotopía orientada $Y\to X$ (Milnor, 1958).

• Cualquier equivalencia de homotopía orientada es una equivalencia de homotopía tangencial (Milnor, Hirzebruch-Hopf 1958).

• Toda equivalencia homotópica orientada procede de un h-cobordismo (Wall 1964).

• Cualquier equivalencia de homotopía orientada proviene de un homeomorfismo (Freedman).

• No es necesario que $X$ y $Y$ son difeomorfos (Donaldson). Ahora se conocen muchos ejemplos: por ejemplo, la cirugía de nudos de Fintushel-Stern en una superficie K3 da una familia de K3 exóticas parametrizadas por los polinomios de Alexander de los nudos.

He aquí un esbozo de por qué las equivalencias de homotopía preservan los haces tangentes: $X$ y $Y$ tienen tres clases características: $w_2$ , $p_1$ y $e$ . Sin embargo, $e[X]$ es la característica de Euler, y $p_1[X]$ tres veces la firma. Por la fórmula de Wu, $w_2$ es la reducción mod 2 del coset de $2H^2(X)$ en $H^2(X)$ dado por los vectores característicos, por lo tanto está determinado por la red. Al intentar construir un isomorfismo de haces tangentes sobre una equivalencia homotópica dada, los obstáculos que se encuentran son en $H^2(X;\pi_1 SO(4))=H^2(X;Z/2)$ y en $H^4(X;\pi_3 SO(4))=Z\oplus Z$ y estos se pueden emparejar con las tres clases de características.

Answer 2

John, si miras el capítulo 8 del libro de Freedman-Quinn sobre los 4 manifolds topológicos, encontrarás el siguiente cálculo de los grupos de homotopía de Top(4)/O(4):

$\pi_3 = Z/2$ y $\pi_i = 0$ para $i=0,1,2,4$ .

Esto implica que

• un manifold topológico de 4 dimensiones tiene una reducción lineal de su haz tangente si y sólo si el invariante de Kirby-Siebenmann desaparece

• si existe, la reducción es única.

Los resultados de Donaldson y Freedman implican muchos ejemplos de 4manifolds no lisos con invariante de Kirby-Siebenmann trivial: cualquier forma de intersección unimodular surge de una 4manifold topológica cerrada simplemente conectada, y en el caso par el invariante de Kirby-Siebenmann es la firma/8 mod 2. Si la forma es definida, no puede surgir de una variedad suave. Furuta incluso demostró que la característica/signatura de Euler debe ser $\geq 10/8$ para que se realice sin problemas. El límite conjeturado es 11/8 y se realiza mediante la superficie de Kummer.

Answer 3

Siempre me han desconcertado las estructuras de cuerpo de asa en los 4 manifolds topológicos. Ya en 1970 Kirby y Siebenmann habían establecido que los n-manifolds topológicos tienen una estructura de cuerpo de asa para n>5 (véase el Ensayo III.2 del libro de K-S de 1976), y Quinn lo demostró para n=5 en Ends of Maps III (1982). Por último, acabo de enviar un correo electrónico a Kirby, que ha dado un argumento sencillo según el cual un manifold topológico de 4 dimensiones tiene una estructura de cuerpo de asa si y sólo si es suavizable. He publicado su correo electrónico en la página páginas de cirugía del Proyecto Atlas Manifiesto.

Answer 4

Tomemos dos homeomorfas cerradas, simplemente conectadas y lisas, que no sean difeomorfas. Entonces sus productos con $\mathbb R$ son difeomorfos porque la estructura suave en un producto de este tipo es única. (De hecho, como la PL/O es 6-conectada, basta con demostrar que la estructura de PL asociada es única, pero el conjunto de estructuras de PL en una manifold de PL $M$ de dimensión $\ge 5$ es biyectiva al conjunto de clases de homotopía de los mapas de $M$ a $TOP/PL$ y este último espacio es $K(\mathbb Z_2, 3)$ por lo que el conjunto de estructuras PL en $M$ es biyectiva a $H^3(M,\mathbb Z_2)$ que desaparece por la dualidad de Poncare si $M$ es equivalente en homotopía a una zona simplemente conectada $4$ -de hecho, el argumento muestra que todo lo que necesitamos es $H_1(M;\mathbb Z_2)=0$ ).

De ello se deduce que el original cerrado simplemente conectado $4$ -son equivalentes en homotopía tangencial, es decir, existe una equivalencia de homotopía que atrae a los haces tangentes estables entre sí.

Answer 5

Creo que está buscando lo siguiente:
Un exótico 4-manifold por Selman Akbulut

Construimos dos 4manifolds lisos compactos $Q_1, Q_2$ que son homeomorfas pero no difeomorfas entre sí. En particular, ningún difeomorfismo $\partial Q_1 \rightarrow \partial Q_2$ puede extenderse a un difeomorfismo $Q_1 \rightarrow Q_2$

Alternativamente, el caso límite:
Un exótico manifold orientable de 4 dimensiones por Robert E. Gompf

En el presente trabajo, exponemos dos variedades orientables compactas (con límite), $M_1$ y $M_2$ que son homeomórficas, pero no difeomórficas.

El caso simpléctico mínimo:
Una variedad simpléctica homeomorfa pero no difeomorfa a $\mathbb{CP}^2$ # $3 \overline{\mathbb{CP}}^2$ por Scott Baldridge y Paul Kirk

Por último, quizás le gusten las siguientes notas de David Gay :

Este documento esbozará de manera informal la construcción de una familia de 4 manifolds que son homeomorfos pero no difeomorfos.

La primera sección del trabajo (después de la introducción, por lo que es la sección 2 del trabajo), describe la construcción habitual "de una familia infinita de clases de difeomorfismo de 4mnifolds en dos clases de homeomorfismo".
(A grandes rasgos, los ejemplos básicos de 4 manifolds no difeomorfos pero sí homeomorfos se construyen como sigue : Sea $E(1)$ sea la superficie algebraica, obtenida mediante la expansión de 9 puntos en $\mathbb{C}P^2$ . Este es un superficie elíptica . Sea $E(2)$ sea la suma de dos copias de $E(1)$ (el modo de hacerlo se explica en la sección 2). Definir inductivamente $E(n)$ como la suma de fibras de $E(n-1)$ y $E(1)$ . Mediante transformaciones logarítmicas se puede construir a partir de estos $E(n)$ las superficies elípticas $E(n, m_1,\dots,m_n)$ , donde $m_1,\dots,m_n$ son los órdenes de la transformación. Los ejemplos básicos de 4 manifolds no difeomórficos sino homeomórficos son los siguientes $E(n,p,q)$ donde $p,q$ son relativamente primos).
Como has pedido ejemplos compactos, esto no responde a tu pregunta. Sin embargo, creo (espero) que este último enlace es útil, ya que proporciona una breve visión general y la introducción a no diffeomorphic pero homeomorphic 4-manifolds.