Dejemos que $A$ y $B$ sean matrices de dimensiones $d \times n$ . Sea $C = AB^{\top}$ .
También sabemos que $C = I \mathrm{diag}(\gamma) J$ para algunas matrices $I$ y $J$ y el vector $\gamma$ de longitud $m$ , $m < \min(d,n)$ (es decir $I$ es de dimensión $d \times m$ y $J$ es de dimensión $m \times d$ ).
Utilizando sólo la matriz $B^{\top}A$ (y no $AB^{\top}$ , $I$ , $J$ o $\gamma$ ), quiero encontrar $U$ y $V$ de las dimensiones $m \times d$ tal que $U I$ y $V J$ son invertibles y $U A$ y $V B$ se puede calcular. Puede aplicar cualquier descomposición o extraer cualquier información que necesite de $B^{\top} A$ .
FIX: También tengo $B^{\top} B$ y $A^{\top} A$ a mi disposición.
EDIT: He conseguido afinar la pregunta.
Dejemos que $\sigma(D)$ sean los valores propios no nulos de una matriz cuadrada $D$ y que $s(C)$ sean los valores singulares no nulos de una matriz $C$ .
Sabemos que si $C = AB^{\top}$ Entonces:
$s^2(C) = \sigma(C C^{\top}) = \sigma(AB^{\top} B A^{\top}) = \sigma(A^{\top} A B^{\top} B)$
También estoy asumiendo que puedo calcular $A^{\top} A$ y $B^{\top} B$ lo que significa que $s^2(C)$ es computable.
Creo que $U$ y $V$ que estoy buscando podría venir de los vectores singulares derecho e izquierdo de $C$ pero no sé cómo calcular estos vectores singulares a partir de $A^{\top} A$ , $B^{\top} B$ y $B^{\top} A$ . Peor aún, incluso si tuviera estos $U$ y $V$ no está claro cómo calcular $UA$ y $VB$ sin representar explícitamente $A$ y $B$ .
EDIT 2: Creo que he conseguido afinar un poco más la pregunta:
Supongamos que tenemos la ecuación matricial:
$(U^{\top} A) (Q \Lambda Q^{\top}) (A^{\top} U) = \Sigma$
tal que todas las matrices de esta ecuación tienen valores reales y ( $d > n$ ):
$U$ es $d \times d$ y es ortonormal
$A$ es $d \times n$
$Q$ es $n \times n$ y es ortonormal
$\Lambda$ es $n \times n$ y es diagonal (sólo con valores no negativos)
$\Sigma$ es $d \times d$ y es diagonal (sólo con valores no negativos)
¿Hay alguna forma de extraer la matriz $U^{\top} A$ si lo sabemos: $\Sigma$ , $\Lambda$ y $Q$ pero no saben $A$ , $U$ ? (Creo que esto se puede formular más "matemáticamente" como una pregunta sobre la unicidad de una solución, pero no estoy seguro de cómo).
No me importaría recibir $U^{\top} A$ hasta una transformación lineal invertible, siempre que esta transformación sea una función de $U$ sólo. ¿Qué pasa si $A$ contiene $n$ vectores ortonormales de longitud $d$ ? Creo que esto tiene una solución más fácil.
