Construcción de la raíz cuadrada de una línea dada con brújula y regla

Question

Dado

1. Una línea recta de longitud arbitraria
2. La capacidad de construir una línea recta en cualquier dirección desde cualquier punto de inicio con la "longitud unitaria"o la longitud cuya raíz cuadrada de su magnitud es igual a su propia magnitud.

¿Hay alguna manera de construir geométricamente (usando solo un compás y una regla) una línea con la longitud de la raíz cuadrada de la línea de longitud arbitraria? ¿Cuál es la base matemática?

Además, ¿por qué no se puede hacer esto sin la longitud de la línea unitaria?

Answer 1

Si tienes un segmento $AB$, coloca el segmento de longitud unitaria en la línea donde se encuentra $AB$, comenzando por $A$ y en la dirección opuesta a $B; que $C$ sea el otro punto del segmento. Ahora dibuja un semicírculo con diámetro $BC$ y la perpendicular a $A; esta línea corta el semicírculo en un punto $D$. Ahora $AD$ es la raíz cuadrada de $AB$.

$\triangle BCD$ es un triángulo rectángulo, al igual que $\triangle ACD$ y $\triangle ABD$; todos estos son similares, por lo que descubres que $AC/AD = AD/AB$. Pero $AC=1$, entonces $AD = \sqrt{AB}$.

Ver el dibujo abajo:

Answer 2

Sin el segmento de longitud unitaria, es decir, sin algo con qué comparar el primer segmento, su longitud es completamente arbitraria, por lo que no puede ser valorada, por lo que no hay un valor del cual tomar la raíz cuadrada.

Sea el segmento dado (con longitud x) AB y sea el punto C en el rayo AB tal que BC = 1. Construye el punto medio M del segmento AC, construye el círculo con centro M pasando por A, construye la línea perpendicular a AB pasando por B, y sea D una de las intersecciones de esa línea con el círculo centrado en M (llama a la otra intersección E). BD = sqrt(x).

AC y DE son cuerdas del círculo que intersectan en B, así que por el teorema de la potencia de un punto, AB * BC = DB * BE, entonces x * 1 = x = DB * BE. Dado que DE es perpendicular a AC y AC es un diámetro del círculo, AC biseca DE y DB = BE, así que x = DB^2 o DB = sqrt(x).

edit: este es un caso especial de la construcción de la media geométrica más general. Dadas dos longitudes AB y BC (arregladas como se indica arriba), la construcción anterior produce la longitud BD = sqrt(AB * BC), que es la media geométrica de AB y BC.

Answer 3

Tomar una línea AB de 1 unidad. Dibujar un segmento de línea BC perpendicular a AB y unir CA. Tomar el radio de CA y con el centro del compás en A dibujar un arco cortando la extensión de la línea AB. Ese punto es la raíz cuadrada de 2. (esto está en el plan de estudios de noveno grado para nosotros). Lo que contestó MAU también es otra forma.

Answer 4

Esta respuesta se centra en la última pregunta de OP sobre la línea de longitud unitaria.

Respondería al resto de la pregunta exactamente como mau. Se puede ver que en el dibujo de mau, el segmento de longitud unitaria es un elemento necesario, y sin ese segmento esta construcción no es posible. Ahora añado un pequeño punto aquí:

Si no tenemos el segmento de longitud unitaria, aún podríamos completar la construcción si conocemos la longitud de la que estamos buscando la raíz cuadrada. La razón es que el valor de la longitud contiene información. Implica el tamaño relativo de un segmento con respecto a la longitud unitaria. ¡Así que es útil!

En particular, en el caso de que dicha longitud sea un número entero, podemos usar esa información para construir un segmento de longitud unitaria (¿cómo?). Luego podemos aplicar el método de mau.

Answer 5

Las distancias se miden en términos de alguna unidad, por lo que en ese sentido, siempre es necesario un segmento de longitud unitaria. Dicho esto, no es necesario añadir un segmento con el número cuya raíz cuadrada se desea encontrar, al menos en casos especiales.

Por ejemplo, supongamos que se quiere encontrar la raíz cuadrada de 5. Construya un triángulo rectángulo con longitudes de los lados 1 y 2. Esto se puede hacer con regla y compás. Luego, la hipotenusa tiene longitud $\sqrt{5}$ (veces la unidad).

El procedimiento puede volverse más complicado. Dado que 7 es un número primo que no es expresable como la suma de dos cuadrados perfectos, se necesita que el triángulo rectángulo tenga un lado de longitud 2 y el otro lado de longitud $\sqrt{3}$, donde $\sqrt{3}$ ya se había construido anteriormente.