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Isomorfismo $f:\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/561\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/51\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/187\mathbb{Z}$

Me gustaría encontrar un isomorfismo de grupo $f:\mathbb{Z}/17\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/561\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/51\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/187\mathbb{Z} $ . Por el teorema fundamental de un grupo abeliano finito y el teorema del resto chino, sabemos que esos grupos son isomorfos, pero quiero demostrarlo construyendo un isomorfismo.

Sin embargo, no sé cuál es el primer paso. Lo único que sé es que $f(0,0)=(0,0)$ ya que un isomorfismo asigna un elemento de identidad a un elemento de identidad.

Entonces vi ¿Cómo se construye un isomorfismo? y trató de imitar la forma, como $f(x,y)=(x\mod{51},y\mod{187})$ pero, obviamente, no es una sobreproyección.

Ahora estoy atascado aquí. ¿Algún tipo de ayuda?

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Technophile Puntos 101

Introducimos un grupo intermedio $\mathbb Z_{17}×\mathbb Z_3×\mathbb Z_{187}$ . Representar un elemento arbitrario de este grupo como $(a,b,c)$ donde los índices son los residuos modulo $17,3,187$ respectivamente.

Existe un isomorfismo de este grupo con el dominio de $f$ : $(a,b,c)\mapsto(a,187b+c)$ . También existe un isomorfismo con el codominio de $f$ : $(a,b,c)\mapsto(3a+b,c)$ . Si se juntan estos dos isomorfismos, se obtiene el $f$ .

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