Aplicación de la coordenada cartesiana

Question

Encuentre la superficie de la porción de $2x+y+z=8$ en el primer octante. Sé que $f(x,y)=8-y-2x$ , $x=0$ a $4$ y $y= 0$ a $8-2x$ pero tengo problemas para resolver el problema en forma cartesiana. La respuesta es supuestamente $16\sqrt6$

Answer 1

Esta es una prueba analítica : $$\int_0^4\int_0^{8-2x} \sqrt{(-1)^2+(-2)^2+1} \ dydx=\sqrt{6}\int_0^4 8-2x dx=16\sqrt6$$ Esta es una prueba geométrica La superficie es un triángulo cuyos tres vértices se encuentran en los tres ejes. Los tres vértices tienen las siguientes coordenadas: $(4,0,0);(0,8,0);(0,0,8)$ lo que arroja las siguientes longitudes para los lados: $$a=4\sqrt{5}\quad b=4\sqrt{5}\quad c=8\sqrt{2}$$

Aplicando la fórmula de Heron se obtiene: $$s=\frac{a+b+c}2=4\sqrt5+4\sqrt2$$ $$A^2=s(s-a)(s-b)(s-c)=(4\sqrt5+4\sqrt2)\times(4\sqrt5+4\sqrt2-4\sqrt5)^2\times(4\sqrt5-4\sqrt2)$$ $$A^2=16\times16\times(5-2)\times2$$ $$A=16\sqrt{6}$$