Pregunta elemental sobre la extensión de funciones continuas

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio completamente regular y que $T$ un espacio topológico tal que $X \subseteq T \subseteq \beta X$ . Entonces $\beta T = \beta X$ , donde $\beta$ denota la compactación Stone-Cech.

Solución: Sea $f: T \mapsto [0,1]$ . Entonces basta con demostrar que la restricción de f a $X$ puede ampliarse a $\beta X$ "..

¿Por qué?

Answer 1

Esta es mi respuesta a la pregunta modificada: Porque $X$ es denso en $\beta X$ También es denso en $T$ y, por tanto, toda función continua sobre $T$ está determinada de forma única por su restricción a $X$ .

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Aquí está mi respuesta a la pregunta original, que preguntaba cuándo, para ver que una función continua $f:D\to [0,1]$ tiene una extensión continua a $Z$ basta con demostrar que la restricción de $f$ a $C$ tiene una extensión continua a $Z$ , donde $C\subseteq D\subseteq Z$ y $Z$ es un espacio topológico.:

Esto sería suficiente precisamente cuando cada función continua de $D$ a $[0,1]$ se determina por su restricción a $C$ . Esto siempre será cierto si $C$ es denso en $D$ . Si $D$ es completamente regular entonces la densidad de $C$ también es necesario. Para ver esto, supongamos $D$ es completamente regular y $C$ no es denso. Entonces existe una función continua $f:D\to [0,1]$ tal que $f$ es cero en $\overline C$ pero $f(x)=1$ para algunos $x\in D\setminus\overline C$ . Dado que la función cero en $D$ es también una extensión continua de la función cero en $C$ la función cero en $C$ tiene más de una extensión continua a $D$ .

Answer 2

Recordemos que $\beta T$ se caracteriza por ser (hasta el homeomorfismo) el único espacio compacto (Hausdorff) del que $T$ es un subconjunto denso y tal que cualquier mapa continuo $f:T\to[0,1]$ puede extenderse a un mapa continuo $g:\beta T\to[0,1]$ .

Ok, entonces, dado $f:T\to[0,1]$ continua, queremos demostrar que se extiende a una continua $g:\beta X\to[0,1]$ .

Primero, $\beta T$ tiene sentido ya que $T$ es completamente regular, siendo un subespacio de $\beta X$ .

Segundo, $X$ es denso en $T$ por lo que cualquier continuo $f:T\to[0,1]$ está completamente determinada por su restricción a $X$ .

En tercer lugar, por definición de $\beta X$ esta restricción se extiende a un continuo $g:\beta X\to[0,1]$ .

Desde $f\upharpoonright X$ determinado de forma única $f$ hemos demostrado que cualquier continuo $f:T\to[0,1]$ se extiende a un continuo $g:\beta X\to[0,1]$ .

Esto demuestra el teorema: Dado que $X\subseteq T$ entonces $\beta X\subseteq \beta T$ . Si $\beta T$ resultó ser mayor que $\beta X$ entonces tenemos que cualquier continuo $h:X\to[0,1]$ puede extenderse a un continuo $j:\beta T\to[0,1]$ , contradiciendo que $\beta X$ es mayor con esta propiedad. La razón por la que existe esta extensión, es porque si $i:\beta X\to[0,1]$ es la extensión continua de $h$ , entonces su restricción a $T$ es continua y, por tanto, puede ampliarse.

Answer 3

La respuesta a esta pregunta (también sobre la compactación Stone-Cech) es similar.