A continuación se presentan tres tradiciones de investigación que ilustran cómo puede abordarse el problema y ofrecen perspectivas bastante diferentes sobre lo que se considera una lógica.
(esto es realmente para complementar la respuesta de Dan Piponi).
- Las relaciones de consecuencia de Tarski y la lógica algebraica abstracta
La idea básica de Tarski era definir una lógica como un par abstracto de la forma $\langle \mathcal{F},C\rangle$ donde $\mathcal{F}$ es un álgebra libre de fórmulas y $C$ es un operador sobre $\mathcal{P}(\mathcal{F})$ [Escribo $\mathcal{F}$ para el dominio del álgebra libre]. Para cualquier conjunto de fórmulas $A$ el conjunto $C(A)\subseteq\mathcal{F}$ pretende representar las "consecuencias" de $A$ -- para que $C$ genera un relación de consecuencia $\vdash_{C}$ definido como $A\vdash_{C} B$ si $B\subseteq C(A)$ .
A continuación, Tarski dio varias condiciones estructurales para que el operador $C$ debe satisfacer para que la relación de consecuencia resultante cuente como bien comportada, o lógico (a grandes rasgos, esas condiciones consisten en la reflexividad, la monotonicidad, la compacidad, así como la invariabilidad bajo la sustitución uniforme de variables). Véase aquí para más detalles.
Este punto de vista trata realmente la lógica como una rama (muy especial) del álgebra abstracta. Una de las ideas es tratar de diferenciar las lógicas y clasificarlas, atendiendo a sus diferentes propiedades algebraicas. Fue uno de los primeros intentos sistemáticos de responder a la pregunta de "qué es una lógica" en términos tan generales.
Por otra parte, este marco es generalmente demasiado débil para dar cuenta de la cuantificación de cualquier tipo; la atención se limita casi exclusivamente a las lógicas proposicionales.
(NB: el enfoque de Tarski dio lugar a un trabajo muy interesante sobre el proceso general de algebraización de una lógica bajo el pretexto de Lógica algebraica abstracta -- ver, por ejemplo aquí . Entre las monografías interesantes sobre el tema se encuentran la de Rasiowa y Sikorski Un enfoque algebraico de la lógica no clásica así como la de Blok y Pigozzi Lógica algebraizable .)
- Lógica teórica de modelos, cuantificadores generalizados
Para una introducción, véase este libro . El enfoque teórico del modelo estudia varias extensiones de la lógica de primer orden: predominantemente lógicas infinitas de la forma $\mathcal{L}_{\alpha\kappa}$ , donde $\alpha, \kappa$ son ordinales (la lógica $\mathcal{L}_{\alpha\kappa}$ permite conjunciones/disyunciones de menos de $\alpha$ -muchas fórmulas, y la cuantificación sobre menos de $\kappa$ -muchas variables). También abarca temas como las caracterizaciones abstractas de la lógica de primer orden (véase el teorema de Lindstrom mencionado en la respuesta de John Goodrick), así como las conexiones con la lógica probabilística.
Hay investigaciones relacionadas con lo que hace que un cuantificador sea "lógico". La idea es caracterizar los cuantificadores lógicos como operaciones de un cierto tipo que son invariantes bajo ciertos grupos de transformaciones -- parece que hay cierta controversia sobre qué transformaciones exactas definen realmente las operaciones "lógicas" (véase aquí ).
- Lógica aplicada
Otro enfoque que ofrece una perspectiva ligeramente diferente sobre lo que cuenta como lógica es el trabajo en lógica "aplicada": se trata de un amplio campo de estudio que tiene como raíz una dinámico visión de la lógica (ver aquí ). Aquí se utilizan las llamadas lógicas modales "dinámicas" para modelar procesos que cambian con el tiempo, como las transiciones entre los estados de un programa (véase Lógica dinámica proposicional) o los estados informativos de los agentes (véase Lógica epistémica dinámica). Estas lógicas se estudian bien por su interés matemático intrínseco, o bien pueden aplicarse al estudio de los protocolos de intercambio de información en la teoría de los juegos, la criptografía y diversos temas de la filosofía formal.
El enfoque aquí es menos algebraico, pero se centra más en los aspectos teóricos de los modelos y computacionales. Esta investigación suele estar estrechamente relacionada con la informática y la filosofía.
