Ayuda para demostrar el límite de las probabilidades de medición del POVM

Question

Estoy tratando de seguir las indicaciones de Nielsen y Chuang 1 prueba que la diferencia de probabilidades de medición está limitada por la diferencia entre dos operadores unitarios aplicados a un estado dado.

¿Puede alguien mostrarme cómo pasar de la ecuación 4.66 a la 4.67 en la prueba que aparece a continuación (véase la página 195 de la edición del 10º aniversario)?

1 Nielsen y Chuang, "Computación cuántica e información cuántica"

Answer 1

Voy a detallar la respuesta, ya que me costó un poco de esfuerzo y estoy encantado de compartir todos los pasos.

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz a $|\langle \psi| U^\dagger M |\Delta\rangle | $ se deduce que:

$$|\langle \psi| U^\dagger M |\Delta\rangle | \leq ||\psi|| \: ||U^\dagger M \Delta || $$ Obsérvese que se han omitido los paréntesis angulares y la barra vertical de la notación bra-ket para que la notación sea más legible.

El siguiente paso es: $$||\psi|| \: ||U^\dagger M \Delta ||\leq||\psi||\:||U^\dagger M||\: ||\Delta || $$

Esta desigualdad se deriva de la definición de norma del operador. Si $A$ es un operador lineal, definimos la norma de $A$ como:

$$\|A \|_{op} = \sup \{\frac {\| Ax \|} {\| x \|} \ \forall \: x \neq 0 \}$$ Entonces se deduce que para cualquier $\Delta $ tiene $\| U^\dagger M\Delta \|\leq\| U^\dagger M\|_{op}\|\Delta \|$ . Omitiremos el $\:_{op }$ subíndice en lo sucesivo.

De las propiedades de la norma, se deduce que $$||\psi|| \:\| U^\dagger M\|\:||\Delta ||\leq||\psi|| \:\| U^\dagger \|\|M\|\:||\Delta ||$$

Recuerda que $||\psi||= 1$ y que $\| U^\dagger\|=1$ desde $U$ es una matriz unitaria.

Para demostrar que $||M||\leq 1$ recuerda que $M$ es un elemento de un POVM. Un POVM es un conjunto de elementos $\{M_i\}$ de $n X n$ matrices que son hermitianas, definidas positivamente y completas; nótese que normalmente son no proyectivas y no ortogonales.

Desde el punto de vista de la exhaustividad, se mantiene: $$\sum_{i=0}^{n} M_i = I$$ Desde $M_i$ es hermitiano, entonces es un operador normal y cualquier operador normal es diagonal con respecto a alguna base ortonormal (teorema de la descomposición espectral); ya que $M_i$ es hermitiana y definida positiva todos los valores propios $\lambda_j$ son reales y positivos y entonces $M_i=\sum_{j=0}^{m} \lambda_j |j \rangle\langle j|$ . Desde $||\sum_{i=0}^{n} M_i ||=|| I||$ entonces $||M_i||\leq1$ .

Así que demostramos que $|\langle \psi| U^\dagger M |\Delta\rangle | \leq||\Delta || $ .

Aplicando todos los pasos anteriores a $|\langle \psi| MV |\Delta\rangle|$ se deduce que $|\langle \psi| MV |\Delta\rangle | \leq||\Delta || $ .

Entonces lo probamos: $$|\langle \psi| U^\dagger M |\Delta\rangle |+|\langle \psi| MV |\Delta\rangle| \leq \||\Delta\rangle ||+\||\Delta\rangle \| $$

Espero que esto pueda ayudar a alguien más.

Answer 2

$$|\langle \psi| AB \phi\rangle | \leq ||\psi|| \: ||AB \phi|| \leq ||\psi||\: ||AB|| \: ||\phi|| \leq ||\psi|| \: ||A||\:||B||\: ||\phi||$$ En nuestro caso $||\psi||=1$ y $||A||, ||B|| \leq 1$ . porque uno de $A$ y $B$ es unitario y el otro forma parte de un POVM.