Probabilidad de que n eventos de N elijan el mismo objeto

Question

Tengo que calcular la probabilidad de n personas fuera de N que eligen exactamente el mismo objeto, entre k objetos. Estoy tratando de averiguar si esto podría ser una versión modificada del problema de Cumpleaños, o si es un proceso de Bernoulli.

Lo que tengo en este momento es lo siguiente:

$P = 1 - \frac{k!}{k^n(k-n)!}$

Dado que las primeras personas elegirán un objeto con probabilidad $\frac{k}{k} = 1$ la segunda persona que no elija el mismo número tendrá $\frac{k-1}{k}$ y así sucesivamente. Entonces, si hago 1 - esta probabilidad, debería obtener mi respuesta.

No estoy seguro de si esto es correcto o no. ¿Alguien tiene una idea sobre esto?

Answer 1

Esto parece un problema de probabilidad binomial. Ignora a la primera persona por el momento. Cada persona después de ellos elige un objeto de forma independiente, y usted quiere exactamente $n - 1$ de ellos para elegir un particular objeto (el mismo que eligió la primera persona). La probabilidad de que una persona lo haga es $\frac{1}{k}$ . Hay un total de $N - 1$ personas (intentos), y $N - 1 - (n - 1) = N - n$ por lo que obtenemos:

$$P = {N-1 \choose n-1} \left(\frac{1}{k} \right)^{n-1} \left(\frac{k - 1}{k}\right)^{N - n} $$

Entonces tenemos que volver a considerar la primera persona. He asumido que son literalmente la primera persona a elegir, cuando podrían ser cualquiera de los $N$ personas. Por lo tanto, tenemos que multiplicar lo anterior por $N$ .

nb. Todo esto supone que no importa lo que todos los demás $N - n$ la gente elija, siempre que sea diferente de la "primera" opción. No sé exactamente qué tendría que cambiar si se necesita el $N - n$ personas a elegir diferentes objetos para entre sí también.