¿Por qué no es un espacio algebraico?

Question

Esta pregunta está relacionada con la pregunta ¿Es un grupo de espacios algebraicos siempre un esquema? que acabo de ver que fue publicado por Anton. Su pregunta es si un espacio algebraico que es un objeto de grupo es necesariamente un esquema de grupo, y la respuesta parece ser SÍ. Ahora bien, mi idea ingenua de lo que es un espacio algebraico es es que es el cociente de un esquema por una relación de equivalencia étale, pero parece que me estoy confundiendo. Espero que alguien me ayude a salir de mi confusión.

Permítanme considerar primero una situación topológica análoga, en la que la respuesta es no. Podemos considerar la categoría de espacios lisos con lo que me refiero a la categoría de tramas en el sitio de las variedades suaves que son cocientes de variedades por relaciones de equivalencia suaves (con fibras discretas).

He aquí un ejemplo: Si tenemos un grupo discreto $G$ actuando (suavemente) en un espacio $X$ podemos formar la relación de equivalencia $R \subset X \times X$ , donde $R$ consiste en todos los pares de puntos $(x,y) \in X \times X$ donde $y= gx$ para algunos $g \in G$ . Si R es una colector, entonces la gavilla $[X/R]$ (que se define como un coequipamiento de gavillas) es un espacio suave.

Este es un ejemplo de un objeto de grupo en espacios lisos: Empezamos con el grupo de Lie conmutativo $S^1 = U(1)$ . Ahora elige un número irracional $r \in \mathbb{R}$ que consideramos como el punto $w = e^{2 \pi i r}$ . Dejamos que $\mathbb{Z}$ actuar $S^1$ por "rotación por $r$ ", es decir

\begin{align*} \mathbb{Z} \times S^1 & {}\to S^1\\ (n, z) & {}\mapsto w^n z. \end{align*}

Esto nos da una relación de equivalencia $R = \mathbb{Z} \times S^1 \rightrightarrows S^1$ donde un mapa es la acción y el otro la proyección. Las fibras son discretas y la gavilla cotizada es, por tanto, un espacio liso, que no es una variedad. Sin embargo, el grupo $R \rightrightarrows S^1$ tiene una estructura extra. Es un objeto de grupo en los grupos, y esto da a la gavilla cotizada una estructura de grupo.

La estructura de grupos en los objetos $S^1$ y morfismos $R$ están dadas simplemente por las estructuras de grupo obvias. Por cierto, este objeto de grupo en los groupoides sirve como una especie de modelo para el "toroide cuántico": Blohmann-Tang-Weinstein, Estructura de lúpulo y módulos sobre álgebras de rotación irracional , arXiv:math/0604405 .

Ahora bien, ¿qué ocurre cuando intentamos copiar este ejemplo en el entorno de los espacios y esquemas algebraicos?

Hagámoslo fácil y trabajemos sobre los números complejos. Un análogo de $S^1$ es el esquema de grupo $$ \mathbb{G}_m / \mathbb{C} = \operatorname{Spec} \mathbb{C}[t,t^{-1}]. $$

Cualquier grupo discreto da lugar a un esquema de grupo sobre $\operatorname{Spec} \mathbb{C}$ viendo el conjunto $G$ como el esquema $$ \bigsqcup_G \operatorname{Spec} \mathbb{C}. $$ Así, por ejemplo, podemos ver los enteros $\mathbb{Z}$ como esquema de grupo. Este esquema de grupo (conmutativo) debe tener la propiedad de que un homomorfismo desde él a cualquier otro esquema de grupo es lo mismo que especificar un único $\operatorname{Spec} \mathbb{C}$ -del esquema de grupo objetivo (conmutativo).

A $\operatorname{Spec} \mathbb{C}$ -punto de $\operatorname{Spec} \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ se especifica mediante un elemento invertible de $\mathbb{C}$ . Fijemos una, concretamente la dada por el elemento $w \in S^1 \subset \mathbb{C}^\times$ . Esto da lugar a un homomorfismo $\mathbb{Z} \to \mathbb{G}_m$ y por lo tanto a una acción de $\mathbb{Z}$ en $\mathbb{G}_m$ .

Ingenuamente, la misma construcción parece funcionar para producir un objeto de grupo en espacios algebraicos que no es un esquema. Así que mi pregunta es: ¿dónde se rompe esto?

Se me ocurren algunas posibilidades, pero no he podido comprobarlas:

1. Hace $R = \mathbb{Z} \times \mathbb{G}_m$ ¿no es una relación de equivalencia por alguna razón técnica?
2. Haz los mapas $R \rightrightarrows \mathbb{G}_m$ no ser étale?
3. ¿Hay algo más que se me escapa?

Answer 1

Si $X$ denota la gavilla cotizada $\mathbf{G}_m / \mathbf{Z}$ entonces la inclusión

$\mathbf{G}_m \times_X \mathbf{G}_m \rightarrow \mathbf{G}_m \times \mathbf{G}_m$

puede identificarse con el mapa de acción

$\mathbf{G}_m \times \mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{G}_m \times \mathbf{G}_m$ .

Como este mapa no es cuasi-compacto, $X$ no está cuasi separado, por lo que no es un espacio algebraico según la definición de Knutson.

Answer 2

Estoy de acuerdo con la respuesta de Jonathan Wise, pero ¿qué pasa con los espacios algebraicos posiblemente no cuasi separados, es decir, según Raynaud-Gruson o To\"en-Vaqui'e?

Parece que la respuesta es sorprendente... Sí, ¡ese cociente es un espacio algebraico! De hecho, ya has dado la prueba: R es un esquema y una relación de equivalencia etale. Es un espacio algebraico bastante loco en el sentido de que no tiene un subesquema abierto. El teorema de Knutson que dice que los subesquemas abiertos siempre existen utiliza la cuasi-separación, como aparentemente debe ser. Así que parece que has descubierto un objeto de grupo en la categoría de espacios algebraicos que no es cuasi-separado ni un esquema. Bien hecho. Nunca hubiera imaginado que existiera algo así, y mucho menos que fuera tan sencillo. (Un ejemplo aún más sencillo sería el grupo aditivo módulo Z, al menos en la característica 0).

Answer 3

Aunque Knutson exige que los espacios algebraicos estén casi separados, no creo que sea un requisito razonable. Después de todo, no todos los esquemas son cuasi-separados, y ciertamente queremos que todos los esquemas sean espacios algebraicos.

Quizás $\mathbb{G}_m/\mathbb{Z}$ se siente como un espacio algebraico extraño porque es no se separa localmente (es decir, su diagonal no es una inmersión). Esto se puede ver porque el morfismo $R\to \mathbb{G}_m\times \mathbb{G}_m$ no es una inmersión (este mapa es un cambio de base de la diagonal, y las inmersiones son estables bajo cambio de base). El otro ejemplo clásico de un espacio algebraico no separado localmente (pero cuasi separado) es la recta con doble dirección tangente (Ejemplo 1 en la página 9 del libro de Knutson).