Un problema de Shimura y su relación con la teoría del campo de clases

Question

En el capítulo II.10 de El mapa de mi vida Goro Shimura menciona un cierto problema:

El segundo tema se refiere a un polinomio $F(x)$ con coeficientes enteros. Tomemos $$ F(x) = x^3 + x^2 - 2x - 1, $$ por ejemplo. Para un número entero $n$ consideramos la descomposición de $F(n)$ en el producto de números primos. Podemos permitir $n$ sea negativo, pero supongamos que $n$ ser positivo aquí. Así, $$ F(1) = -1, F(2) = 7, F(3) = 29, F(4) = 71, F(5) = 139, $$ $$ F(6) = 239, F(7) = 13 \cdot 29, F(8) = 13 \cdot 43, F(9) = 7 \cdot 113, \ldots $$ Los números primos que aparecen como factores de $F(n)$ forman una secuencia $$ 7, 13, 29, 43, 71, 113, 139, 239, \ldots $$ Ahora la pregunta es: ¿Qué son estos números primos? De hecho, podemos demostrar que todo número primo de este tipo $p$ excluyendo 7, tiene la propiedad de que $p+1$ o $p-1$ es divisible por 7. A la inversa, todo número primo de este tipo aparece como factor $F(n)$ para algún número entero positivo $n$ .

Mientras aprendía la teoría de campos de la clase por mi cuenta, me di cuenta de que el teorema principal en los casos más fáciles se puede formular en términos de factores primos de $F(n)$ como el anterior, y en ese momento me sentí muy feliz. El polinomio $F$ no puede tomarse de forma arbitraria. En realidad, la ecuación $F(x) = 0$ tiene $2 \cos (2\pi/7)$ como raíz, y ese hecho es esencial. Si $F(x) = x^2 - a$ con un número entero $a$ el problema puede ser resuelto por la ley de reciprocidad cuadrática. De hecho, mi trabajo posterior sobre la llamada multiplicación compleja está estrechamente relacionado con esta cuestión de encontrar $F$ para la que se puede determinar la secuencia correspondiente a [la secuencia de enteros anterior].

Mi pregunta se refiere a los argumentos del último párrafo extraído. A saber, ¿cómo se relacionan exactamente los casos más fáciles del Teorema Principal de la Teoría de Campos de Clases con este problema? Además, ¿cómo ayuda la multiplicación compleja a encontrar un polinomio $F$ dada una secuencia de primos como la anterior?

Answer 1

Dejemos que $K$ sea un campo numérico y $F$ un polinomio con coeficientes en $K$ . La teoría del campo de clases muestra que las siguientes propiedades de $F$ son equivalentes:

(1) Existe un subgrupo $H$ de un grupo de clase ideal generalizado $C_{\mathfrak m}$ (de algún conductor adecuadamente elegido $\mathfrak m$ ) y un conjunto finito de ideales primos $S$ (incluyendo todos los primos involucrados en los denominadores de $F$ ) tal que $F$ se divide completamente en módulo $\wp$ (para $\wp \not\in S$ ) si y sólo si la clase de $\wp$ en $C_{\mathfrak m}$ se encuentra en $H$ .

(2) El campo de división de $F$ en $K$ es una extensión abeliana.

En el ejemplo de Shimura, el campo $K$ es $\mathbf Q$ el conductor es $7$ el conjunto $S$ es $\{7\}$ y el campo de división es la extensión de grado 3 de $\mathbf Q$ contenida en ${\mathbf Q}(\zeta_7)$ .

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Así que, en general, para construir $F$ del tipo considerado por Shimura, hay que construir extensiones abelianas de campos numéricos $K$ . La teoría de la multiplicación compleja es una herramienta que permite hacerlo.

Answer 2

Set $\alpha = 2 \cos (2 \pi/7))$ . Como dice Shimura, $\mathbb{Q}[x]/F(x) \cong \mathbb{Q}(\alpha)$ .

Decir que $p$ divide $F(k)$ para algunos $k$ es decir que $F$ tiene una raíz en $\mathbb{F}_p$ . Esto es básicamente lo mismo que decir que $p$ se divide en $\mathbb{Q}(\alpha)$ . (Podría haber algunos problemas en relación con los primos pequeños, aunque creo que no los hay en este caso).

Un caso especial de los principales resultados de la Teoría de Campos de Clases es que $p$ factores (y, de hecho se divide) en $\mathbb{Q}(\alpha)$ si y sólo si $p \equiv \pm 1 \mod 7$ . En general, la teoría del campo de clases nos dice que la factorización de $p$ en un campo numérico $K$ está determinada por las condiciones de congruencia siempre que $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ es abeliana. En este caso, $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/3$ .

Esto no quiere decir que se necesite la Teoría de Clases de Campos para establecer este resultado. Porque $\mathbb{Q}(\alpha)$ es un subcampo de un campo ciclotómico, también se pueden establecer todas estas afirmaciones de forma más elemental utilizando cálculos con raíces de la unidad.

Answer 3

Acabo de ver esto y me gustaría añadir que el ejemplo de Shimura es el caso más pequeño ( $a=-1$ ) de la cúbica más sencilla de Shank $$F(x)=x^3-ax^2-(a+3)x-1$$ con discriminación $P^2$ , $P=a^2+3a+9$ . Cuando $P$ es primordial decir, por ejemplo. $P=13$ ( $a=1$ ) que también se ha señalado anteriormente, $19$ , $37$ , $79$ , $97$ , $139$ , $163$ ..., entonces los primos que dividen $F(m)$ para algunos $m$ son de nuevo $P$ y primos $q$ que son residuos cúbicos mod $P$ . El grupo de Galois es de nuevo $\mathbf Z/3$ por lo que la prueba anterior sigue funcionando -- Una forma explícita de ver $\mathbf Z/3$ es verificar la relación $F(x)=-(1+x)^3 F(g(x))$ donde $g(x)=-1/(x+1)$ es de orden $3$ en $\mathrm{PSL2}(\mathbf Z)$ , por lo que las raíces son $\alpha$ , $g(\alpha)$ , $g^2(\alpha)$ y por lo tanto debe ser todo real.

Answer 4

Me gustaría escribir una especie de resumen de las dos respuestas anteriores. No hay nada nuevo aquí.

Considere $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\zeta_7)$ (y fijamos $\zeta_7=e^{\frac{2\pi i}{7}}$ ) se trata de una extensión abeliana de Galois, y el grupo de Galois es $(Z/7Z)^{\times}$ . Elemento de Frobenius sobre $p$ para $p \neq 7$ (7 es la ramificación) actúa sobre $\zeta_7$ enviándolo a su $p$ - de la energía.

Ahora considere $\alpha=\zeta_7+\zeta_7^{-1}$ que está en $\mathbb{Q}(\zeta_7)$ , considere todos sus conjugados de Galois, que son precisamente $\alpha_2 = \zeta^2 +\zeta^{-2}$ , $\alpha_3=\zeta^3+\zeta^{-3}$ . Así que tenemos $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\alpha)$ es Galois.

Ahora $Frob_p$ mapas $\alpha$ à $\zeta^p + \zeta^{-p}$ que es igual a $\alpha$ si y sólo si $p \equiv 1, -1 (mod 7)$ . Y son precisamente aquellos primos que están totalmente divididos en $\mathbb{Q}(\alpha)$ . Para esos primos, $Z/p = \mathbb{O}_{\mathbb{Q}(\alpha)}/p$ Así pues, siempre podemos encontrar algún $n$ s.t, $\alpha_i \equiv n(mod p)$ lo que equivale a decir que $F(x)$ totalmente dividido sobre $Z/p =F_p$ .

Me alegro de conocer este problema y su respuesta ya que por fin he encontrado un ejemplo explícito de extensión cíclica de Galois de $\mathbb{Q}$ ...(lo que me preguntaba desde hace tiempo...)

También podemos hacer lo mismo para p=13. Sólo hay que tomar $\beta=\theta +\theta^5+\theta^8+\theta^{12}$ donde $\theta$ es la raíz 13ª de la unidad, entonces $Q(\beta)$ es de nuevo una extensión cíclica de Galois de $Q$ .

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cuando dije cíclico arriba, me refería a cíclico de orden 3. Gracias a Peter por señalarlo.

Answer 5

Quiero añadir que uno obtiene tales resultados sólo para extensiones abelianas ("las condiciones de congruencia no son suficientes"). ¿Cómo se puede demostrar esto? Yo empezaría con el teorema de limitación de la norma.