Resolver $x\equiv 1(mod5), x\equiv 2(mod6), x\equiv 3(mod7)$

Question

Resolver $x\equiv 1(mod5), x\equiv 2(mod6), x\equiv 3(mod7)$

Primero puedo ver $x=5t+1, t\in Z$ . Luego insertan esto en la segunda ecuación, que es $5t+1\equiv 2(mod6)$ que lleva a $t\equiv 5mod6$ . Entonces, se ponen $t=6u+5$ Estoy confundido de cómo llegaron a $t=6u+5$ de $5t+1$ . También si alguien tiene alguna estrategia para probar este tipo de problemas donde hay un $x$ que tiene diferentes módulos.

Answer 1

X % 5 = 1 = -4

x % 6 = 2 = -4

x % 7 = 3 = -4

Esto significa que x % LCM(5, 6, 7) = -4 x % 210 = -4

Por lo tanto x = 210t - 4 (-4, 206, ...)

Answer 2

Si $ t \equiv 5 \pmod{6}$ , que equivale a decir que "t deja un recuerdo de 5 al dividirlo entre 6", lo que equivale a $t = 6u + 5$ .

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La fuerza bruta suele funcionar para el Teorema Chino del Resto. Sólo tienes que empujar a través de.

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En este caso, puede hacer la observación de que $x + 4 \equiv 0 \pmod{5}, \pmod{6}, \pmod{7}$ Por lo tanto $ x+4 \equiv 0 \pmod{210}$ .

Answer 3

Ver Teorema del recordatorio chino (párrafo de prueba constructiva de la existencia) para un método general.

Answer 4

Sí, como su otra pregunta - es fácil por CCRT ya que es equivalente a $\,x\equiv -4\,$ para todos los módulos.

De forma más general esta idea funciona para valores y módulos relacionados linealmente: $ $ si $\,(a,b) = 1\,$ entonces

$$\left\{\,x\equiv d\!-\!ck\!\!\!\pmod{b\!-\!ak}\,\right\}_{k=0}^{n}\!\!\iff\! x\equiv \dfrac{ad\!-\!bc}a\!\!\!\pmod{{\rm lcm}\{b\!-\!ak\}_{k=0}^n}\quad \ $$

OP es el caso $\,\left\{\,x \equiv 3-k\pmod{7-k}\,\right\}_{k=0}^2\!\!\iff\! x\equiv \dfrac{1(3)-7(1)}1\equiv -4\pmod{210}$