En las teorías de conjuntos en las que la Hipótesis del Continuum es falsa, ¿cuáles son los nuevos conjuntos?

Question

Por lo tanto, digamos que estamos trabajando con matemáticas que no son CH. Esto significa, AFAIK, que hay al menos un conjunto $S$ en nuestra matemática no CH, cuya cardinalidad es intermedia entre $|\mathbb{N}|$ (tarjeta de naturales) y $|\mathbb{R}|=2^\mathbb{N}$ , el continuo.

Pregunta: ¿qué tipo de objetos encontraríamos en este conjunto $S$ ?

Además: ¿es esta matemática radicalmente diferente de la que sostiene la CH?

Específicamente, ¿hay resultados que se utilizan en las matemáticas cotidianas, a un nivel relativamente introductorio, que no se sostienen en nuestras matemáticas que no son de CH? ¿Qué resultados que encontramos en la matemática cotidiana no se mantendrían en nuestra nueva matemática? ¿Seguirían existiendo, por ejemplo, conjuntos no medibles? Quizás más específicamente: ¿qué resultados dependen de la CH?

Answer 1

Una cuestión muy natural para los algebristas es el problema de Whitehead: ¿existe un grupo abeliano A que no sea libre pero para el que Ext^1(A, Z) = 0? Shelah demostró que este problema natural era independiente de ZFC. Si se supone que la CH es falsa y el axioma de Martin es verdadero, entonces tal grupo existe. Por otro lado, V=L, que implica CH, también implica que tal grupo no existe.