En las teorías de conjuntos en las que la Hipótesis del Continuum es falsa, ¿cuáles son los nuevos conjuntos?

Question

Por lo tanto, digamos que estamos trabajando con matemáticas que no son CH. Esto significa, AFAIK, que hay al menos un conjunto $S$ en nuestra matemática no CH, cuya cardinalidad es intermedia entre $|\mathbb{N}|$ (tarjeta de naturales) y $|\mathbb{R}|=2^\mathbb{N}$ , el continuo.

Pregunta: ¿qué tipo de objetos encontraríamos en este conjunto $S$ ?

Además: ¿es esta matemática radicalmente diferente de la que sostiene la CH?

Específicamente, ¿hay resultados que se utilizan en las matemáticas cotidianas, a un nivel relativamente introductorio, que no se sostienen en nuestras matemáticas que no son de CH? ¿Qué resultados que encontramos en la matemática cotidiana no se mantendrían en nuestra nueva matemática? ¿Seguirían existiendo, por ejemplo, conjuntos no medibles? Quizás más específicamente: ¿qué resultados dependen de la CH?

Answer 1

La cuestión de qué ocurre cuando la CH falla es, por supuesto, objeto de intenso estudio en la teoría de conjuntos. Hay áreas enteras de investigación, como el área de características cardinales del continuo que se dedican a estudiar lo que ocurre con los conjuntos de reales cuando falla la Hipótesis del Continuo.

La lección de gran parte de este análisis es que muchas de las preguntas abiertas más naturales resultan ser en sí mismasd independientes de ZFC, incluso cuando se quiere ¬CH. Por ejemplo, la cuestión de si todos los conjuntos de tamaño intermedio entre los números naturales y el continuo deben tener medida de Lebesgue 0, es independiente de ZFC+¬CH. La cuestión de si sólo los conjuntos contables tienen subconjuntos del continuo es independiente de ZFC+¬CH. Hay una serie de características cardinales que menciono aquí cuya verdadera naturaleza sólo se hace patente cuando falla la CH. Por ejemplo, ¿toda familia no limitada de funciones de ω a ω debe tener tamaño continuo? Es independiente de ZFC+¬CH. ¿Debe toda familia dominante de tales funciones tener tamaño continuo? Es independiente de ZFC+¬CH. Estas preguntas son relativamente sencillas de plantear y podrían considerarse fácilmente parte de la matemática "ordinaria".

Sin embargo, gran parte del resto de lo que se podría considerar como matemáticas ordinarias simplemente no se ve afectado por la CH o la no CH. En particular, la existencia de conjuntos no mensurables que mencionas es demostrable en ZFC, se mantenga o no la CH. (Sin embargo, esta prueba requiere el uso del Axioma de Elección, a menos que los cardinales grandes sean inconsistentes, un resultado demostrado por Solovay y Shelah).

Sin embargo, hay un creciente cuerpo de investigación sobre algunos axiomas sofisticados en la teoría de conjuntos llamados axiomas de forzamiento, que tienen poderosas consecuencias, y muchos de estos nuevos axiomas implican el fracaso de la CH. Este tema comenzó con el axioma MA de Martin _{ω 1} y ha continuado con el axioma de forzamiento adecuado, el máximo de Martin y ahora muchas otras variaciones.

Por último, en su título preguntaba cómo son los nuevos conjuntos. La consistencia del fracaso de la Hipótesis del Continuo fue demostrada por Paul Cohen con el método de forzando . Este método altamente sofisticado y versátil se utiliza ahora de forma generalizada en la teoría de conjuntos, y se considera mejor como un método fundamental de construcción de modelos de la teoría de conjuntos, que comparte muchas afinidades con los métodos de construcción en álgebra, como la construcción de extensiones de campos algebraicos o trascendentales. Cohen construyó un modelo de ZFC+ ¬CH comenzando con un modelo V de ZFC+CH, y luego utilizando el método de forzamiento para añadir ω ₂ muchos nuevos números reales para construir la extensión forzosa V[G]. Dado que V y V[G] tienen los mismos cardinales (por un argumento combinatorio detallado), se deduce que el conjunto de reales en V[G] tiene un tamaño de al menos (de hecho, exactamente) ω ₂ . En particular, el antiguo conjunto de reales de V, que tenía un tamaño ω ₁ es ahora uno de los conjuntos de reales de tamaño intermedio. Así pues, ¡estos conjuntos intermedios no son tan misteriosos después de todo!

Answer 2

Puede que no consigas nuevos juegos puede que consigas menos ¡biyecciones entre los conjuntos que ya tienes! A veces, conseguir más cardenales significa tener menos conjuntos.

Answer 3

La CH es una pregunta muy sutil. Para complementar las otras respuestas, explicaré brevemente por qué es tan difícil ver los efectos de la CH en las matemáticas cotidianas.

Los cardenales $\aleph_1$ y $2^{\aleph_0}$ son notablemente diferentes aunque sean sistemáticamente iguales. De hecho, no hay una forma natural de compararlas. La mera existencia de una inyección de $\aleph_1$ en $\mathbb{R}$ implica la existencia de un conjunto no medible. Así, en el modelo de Solovay (donde todos los subconjuntos de $\mathbb{R}$ son medibles) los dos cardinales $\aleph_1$ y $2^{\aleph_0}$ son incomparables. Sin embargo, la CH sigue siendo cierta en el modelo Solovay en el sentido de que no hay conjuntos con cardinalidad intermedia entre $\aleph_0$ y $2^{\aleph_0}$ .

Aunque la CH es aparentemente irrelevante para las matemáticas cotidianas, ha encontrado muchos usos y es una herramienta común en algunas ramas de las matemáticas. Especialmente en ciertas áreas del análisis funcional. Se utiliza sobre todo para construir ejemplos o contraejemplos cuando se intenta generalizar un resultado del caso separable al caso no separable. Estas construcciones suelen ser argumentos de diagonalización. Como señaló Joel, estas construcciones pueden generalizarse a menudo al caso no separable mediante el uso de axiomas de forzamiento como MA o PFA, o argumentos más afinados que implican invariantes cardinales del continuo.

El hecho es que la CH es una cuestión aparentemente invisible para la mayoría de las matemáticas. La razón más profunda de esto es que la mayoría de los objetos relevantes de las matemáticas son contables o separables. Las clases de tales objetos y las preguntas sobre ellos a menudo pueden formularse utilizando sólo cuantificadores de primer o segundo orden (es decir, utilizando la cuantificación sobre números naturales, números reales, conjuntos de números naturales, pero no la cuantificación sobre conjuntos de números reales u objetos de tipo superior) aunque la formulación natural no sea de este tipo. Suponiendo algunos axiomas cardinales grandes (lo que a menudo no es necesario) los conjuntos obtenidos de esta manera nunca pueden ser de cardinalidad intermedia entre $\aleph_0$ y $2^{\aleph_0}$ . Así, desde el punto de vista moral, la CH es prácticamente cierta para la mayoría de los objetos y cuestiones de la matemática cotidiana.

Por supuesto, esta no es toda la historia, hay ejemplos naturales de objetos que tienen tamaño $\aleph_1$ . Por ejemplo, los invariantes de Ulm en la teoría de grupos abelianos. Sin embargo, dado que los métodos que conducen a objetos de tamaño $\aleph_1$ y $2^{\aleph_0}$ son radicalmente diferentes, la diferencia entre dichos objetos suele ser notable y la cuestión de la comparación ni siquiera se plantea.

Entonces, ¿por qué la CH es una pregunta? Bueno, en todas las áreas de las matemáticas, cuando hay dos métodos completamente diferentes para construir dos objetos de tipo similar, es una pregunta completamente natural preguntar hasta dónde llega esta similitud. En este caso, tenemos dos conjuntos diferentes $\aleph_1$ y $2^{\aleph_0}$ que son ambos incontables. Compararlos es completamente natural. Lo que hace que la cuestión sea a la vez difícil e interesante es que los conjuntos no tienen esencialmente ninguna estructura, por lo que no hay formas obvias de distinguir $\aleph_1$ y $2^{\aleph_0}$ .

Answer 4

Si AC es cierto, entonces los reales pueden estar bien ordenados. Ahora mira el conjunto de todos los reales que sólo tienen un número contable de predecesores en ese buen orden. Ese conjunto tiene una cardinalidad $\aleph_1$ . Si $\aleph_1 < 2^{\aleph_0}$ Y luego está el ejemplo buscado.

Answer 5

Generalmente, la gente no asume CH o no CH, porque es independiente. Sin embargo, algunas de las respuestas en este La pregunta podría ser relevante en este caso. Pero, por regla general, los resultados de la matemática ordinaria se van a mantener en la matemática ordinaria + CH y en la matemática ordinaria + no CH, así que no vas a encontrar mucho en la línea de lo que estás buscando.