¿El valor medio y la varianza de una variable aleatoria la definen completamente?

Question

¿El valor medio y la varianza de una variable aleatoria la definen completamente? En particular,

si $X$ es una variable aleatoria, tal que $E(X) = \operatorname{Var}(X) = u$,

¿implica eso que $X \sim \operatorname{Poisson}(u)$ ?

En caso afirmativo, una prueba de que una variable aleatoria es Poisson requeriría solo mostrar la relación anterior que es muy útil. De lo contrario, ¿qué medidas pueden definir de manera única una variable aleatoria, o una variable aleatoria de Poisson?

Answer 1

No, por ejemplo puedes tomar una distribución normal estándar, multiplicarla por $\sqrt u$ y agregar $u$ para obtener una distribución diferente con media y varianza $u$. (Puedes hacer este truco con cualquier distribución inicial no constante con media finita y varianza: toma una transformación lineal para obtener la media y varianza que desees).

Lo que es cierto es que si todos los momentos existen y coinciden con lo que serían para una distribución de Poisson (es decir, $\mathbb E(X^k)$ tiene el valor correcto para cada $k$) entonces la distribución es de Poisson.

[editar] El párrafo anterior no necesariamente sería cierto si estuvieras tratando de determinar si $X$ es igual a alguna distribución arbitraria, pero es cierto para comparar con una distribución de Poisson (y muchas otras distribuciones comunes). Aquí hay un hilo en mathoverflow que discute cuándo es cierto.

Answer 2

Una variable aleatoria general está completamente definida por su distribución; si el soporte de una v.a. es un conjunto infinito, un número finito de parámetros puntuales como la media y la varianza no pueden definir el tipo de variable aleatoria.