¿Cuál de estos dos números es el mayor?

Question

¿Cómo puedo abordar este problema de comparación entre estos dos números? Algún consejo, por favor.

$A = 1000^{1000}$ o $B = 1\times 3\times 5\times \dots \times 1997$

Answer 1

Para cualquier $a \geq 1$ tenemos $$(1000+a)(1000-a) < 1000^2$$ Por lo tanto, $$\prod_{a=1,3,5}^{999}(1000+a)(1000-a) < \prod_{a=1,3,5}^{999} 1000^2$$ Esto nos da $$1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots 1995 \cdot 1997 \cdot 1999 < 1000^{1000}$$

Answer 2

Una pista: $(1000-x)\cdot (1000+x)<1000\cdot 1000$ .

Answer 3

Aplicar GM $\le$ AM a la $999$ números $1, 3, 5, \ldots, 1997$ tenemos

$$1 \times 3 \times \cdots \times 1997 \le 999^{999} < 1000^{1000}$$